测度理论外文翻译资料

Measure Theory

原文作者 P.R.Halmos. 单位 Springer-Verlag

摘要：讲述了函数列几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛性间的大致关系；可测函数列是依测度基本的与可测函数几乎一致收敛、依测度收敛的关系；

关键词：几乎一致收敛； 几乎处处收敛； 依测度收敛性； 依测度基本的；

sect;21几乎处处收敛性

在之前三节中，我们建立了可测函数的一些理论，这些理论都尽可能地避免提及测度. 从现在起，我们将假定所考虑的空间X是一个测度空间（X，S，）.

设有一个命题，如果在测度空间中除去一个测度为零的可测集外，命题对于任何其他的点都成立，则称命题在几乎所有的点成立，或称命题几乎处处成立. 为方便起见，我们将“几乎处处成立”用“a.e.”来表示. 例如，若一个函数是a.e.的常函数——即存在实数c使得是一个测度为零的集. 如果存在一个正的有限数c使得是一个测度为零的集，则称f是本性有界的. 满足上述条件的数c，它们的下确界称为的本性上确界，记为

ess. sup..

设是一个广义实值函数列，它在测度空间X上几乎处处收敛到一个极限函数f. 这就是说，存在测度为零的集（也可能是空集），对于每个，对于每个，可以找到一个整数，使得当，有

， 若，

， 若，

， 若.

设是一个实值函数列，如果存在测度为零的集，对于每个，对于每个，可以找到一个整数，使当，有

，

则称是几乎处处基本的.

显然，如果一个函数列几乎处处收敛到一个有限值极限函数，则这个函数列是几乎处处基本的；反之，每个几乎处处基本的函数列必定几乎处处收敛到一个有限值极限函数. 如果函数列几乎处处收敛到f，同时也几乎处处收敛到g，即几乎处处有f（x）=g（x）；也就是说，在精确到一个测度为零的集的程度内，极限函数是唯一确定的.

今后我们将涉及几种不同的收敛性概念，将会一致采用与上面所述相似的术语. 因此，如果我们对于趋于极限f引入一种新的收敛性定义：“对于大的n，按照某种指定的意义接近于f”，则今后我们将不加解释地引用下述概念：在这种新的意义下，是基本的，即“对于大的n和m，差按照指定的意义接近于0”.

作为实值函数列新的收敛性概念的一个例子，我们首先引进几乎处处一致收敛的概念.设是一个实值函数列，如果存在测度为零的集，对于每个，可以找到一个整数，使得，有

，

则称几乎处处一致收敛到f；换一句话说，就是函数列在集上一致收敛到f（在通常的意义下）. 不难验证，一个序列几乎处处一致收敛到一个极限函数当且仅当这个序列式几乎处处一致基本的.

下面的结果（称为叶果洛夫定理）建立了几乎处处收敛性与一致收敛性之间极为有趣并且有用的联系.

定理1. 设E是具有有限测度的可测集，是几乎处处有限的可测函数列，在E上几乎处处收敛到有限值可测函数f，则对于每个，存在E的可测子集F使得并使得在上一致收敛到f.

证明. 如果有必要，可以从E中除去一个测度为零的集，因此我们可以假定在E上处处收敛到f. 令

，

则

，

又因在E上收敛到f，所以对于每一个，，有

.

于是，从而存在正整数使得

.

（当然与有关，但在整个证明过程中保持不变.）如果

.

则F是一个可测集，，并且

如果，则，其中. 因此，.这就证明了在上是一致收敛的.

受叶果洛夫定理的启发，我们现在引进下述概念. 设是一个几乎处处有限的可测函数列，如果对于每一个，存在一个可测集F使得，使得在上一致收敛到一个有限值可测函数f，则称几乎一致收敛到f. 按照这种说法，叶果洛夫定理可以表述如下：在一个具有有限测度的集上，由几乎处处收敛性可以推出几乎一致收敛性. 下面是逆方向的定理.

定理2. 设可测函数列几乎一致收敛到f，则几乎处处收敛到f.

证明. 设是一个可测集使得并使得在上一致收敛到f， 令，则有

，

从而有；于是，对于，收敛到.

我们注意到，“几乎一致收敛”是一个有点迷糊的（但可惜却是标准的）名称，因为它很容易和“几乎处处一致收敛”相混. 也许类似“近于一致收敛”的名称比较更能表达出事实的真相；然后事已如此，我们必须对几乎一致收敛与几乎处处一致收敛这两个名称留心加以区别.

sect;22. 依测度收敛性

和上节一样，在本节中，我们假定所考虑的是一个固定的测度空间（X，S，）.

定理1. 设E是具有有限测度的集，f和是E上的实值可测函数，对于每个，令

在E上几乎处处收敛到f的充要条件是：对于每个，

证明. 根据收敛的定义，实数列不收敛到的充要条件是：存在，使得对于n的无限多个值有. 换一句话说，如果D是使得不收敛到f（x）的点x所成的集，则

因此，（即在E上几乎处处收敛到f ）的充分必要条件是：对于每个， 由关系式

即得定理的结论.

为了研究定理1中条件变弱时所产生的结果，现在我们再引进一种很有用的收敛性定义. 设是一个几乎处处有限的可测函数列，f是一个可测函数，如果对于每一个，有，则称依测度收敛到f. 按照我们在sect;21中所作的关于术语的注解，一个几乎处处有限的可测函数列称为依测度基本的，如果对于每一个，当n和，有

由定理1可知，如果有限值可测函数列在一个具有有限测度的集E上几乎处处收敛到一个有限值极限函数（或几乎处处基本），则这个函数列在E上是依测度收敛的（或依测度基本）. 现在证明下面的定理，其中我们对于集E并不要求它具有有限测度.

定理2. 由几乎一致收敛性可以推出依测度收敛性.

证明. 如果几乎一致收敛到f，则对于任意正数和，存在可测集F使得，并使得当而n充分大时有

定理3. 如果依测度收敛到f，则是依测度基本的. 如果同时也依测度收敛到g，则几乎处处有f=g.

证明. 定理的前半部分可由关系式

推出. 现在证明定理的后半部. 我们看出，

只要适当地选择n，上式右端两个集的测度都可以任意小，因此对于每一个，我们有

由此可见，f=g几乎处处成立.

除了上述比较简单的性质外，我们再介绍关于依测度收敛性的两个稍为深刻的性质.

定理4. 如果可测函数列是依测度基本的，则包含一个几乎一致收敛的子序列.

证明. 对于任意正整数k，我们可以找到一个整数使当，，有

令

则，因此是的一个无限子序列. 如果

，

并且，则对于每一个，我们有

.

因此，在上是一致基本的. 又因

，

定理于是证明完毕.

定理5. 如果可测函数列是依测度基本的，则存在可测函数f使得依测度收敛到f.

证明. 根据定理4，存在几乎一致基本的子序列，因而也是几乎处处基本的. 对于每一个使存在的x，令. 对于每一个，我们有

.

按照假定，当n和充分大时，上式右端第一个集的测度可以为任意小；当时，第二个集的测度也趋向0，因为由几乎一致收敛性可以推出依测度收敛性.

外文文献出处：Halmos. R.R. Measure Theory[M]. New York: Springer-Verlag, 1974：86-94,107-114.

附外文文献原文

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