中学教师对作为证明的数值例子的意识外文翻译资料

Research in Mathematics Education

Vol. 12, No. 2, September 2010, 117-120

中学教师对作为证明的数值例子的意识

原作者：Challis Staubach^*, Esther Elevens, Rut hi Bark, Dina Irtish,

Persia Jetsam and Tommy Dreyfus

摘要：一些数学命题可以通过一个支持的例子或一个反例来验证。我们的研究调查了中学教师对作为证明的数值例子的意识。五十名中学教师首先被要求证明（反驳）了六个初等数论的命题，然后发表自己的观点。研究结果表明,教师是熟悉数值例子和反例证明的。我们还发现，教师能接受证明数值的例子考虑的是它涉及到了数学教学的方面。教师不熟悉的是学生更倾向于在证明中使用多个例子或者一个反例。

关键词：教师知识证明；数值例子；反例；理由

引言

现在超过了三十年的研究结果指出，当所有年龄段的学生遇到需要证明数学命题时都存在着问题或者困难(如Bell1976；Haley和Hoyles1998)。其中一个比较困难的问题是在证明中使用例子。一方面，证明一般的说法时需要一般的证据，一些学生往往会提供一般的论点，而不是一个例子，这主要是由于Ha rel和Chowder(1998)已经给出了证明方案。另一方面,当面对无效的通用语句时，学生总是不承认一个反例足以推翻所要证明的命题。相反地，学生往往忽略反例，觉得它们代表着一些错误的示范(Galbraith1981)。此外，学生总是不承认，证明有效性存在语句时一个支持的例子可能就足够了(1995年Selma 和Selma )。

提高学生用反例去证明不同的命题的意识是我们作为数学教育工作者的目标之一。为了实现这一目标,相关规定(例如NCTM2009)要求教师每天都制定关于数学问题的证明。这包括告诉学生，命题的一般证明固然是必要的，而用一个例子或者一个反例证明命题也是必须的，它更可能被认为是可接受的证据。本文解决的问题就是教师如何做出这样的说明。具体地说,它调查了中学数学教师对初等数论知识的证明(反驳)，即运用例子和反例作为判断数值例子的形式的依据。

理论背景

为了讨论教师可以用一个例子或是一个反例去证明命题，我们先考虑一些有关数学问题的证明。然后，我们简要回顾关于学生和教师在初等数论知识的证明。最后,提出我们的研究问题。

学校数学中的证明

“什么是证明?”这个问题并不简单,它在一定程度上讨论了数学教育界。Backache(2002年,23)问道：“lsquo;数学证明rsquo;在数学教育研究人员那里是不是有一个共享的意义呢？”Stylishness(2007、107)在一个教育环境下给出了下面的证明：

证明是一个支持或反对数学命题的数学论证的过程，它具有以下特点：

1.它通过在课堂上接受真正的和可用的语句(组接受语句)，没有进一步的理由。

2.它采用的推理形式(论证模式)是有效的和已知的，或在概念上达成的。

3.它用表达的形式(参数表示的模式)来交流，是适当的和已知的，或是在概念范围内。

Stylishness的定义强调了课堂教学作为权威评价证据的三个特征：公认的语句集合，论证的模式和论证模式的表示。我们也注意到这个定义始于“证明是数学论证hellip;hellip;”。在一个论点可以视为一系列的数学陈述和理由时，论点可以含蓄地传达普遍性的概念，但一个数值的例子却不一定能传达“论点”的意思。

证明是数学和数学教育的根本。例如，美国NCTM指南建议：“一部分学前班到12年级的学生的数学经验表明推理和证据应该是一致的，”(2000年，56)。最近出版的对于高中教学的的建议里面有：“在高中数学里：推理和意义建构(NCTM 2009)的学习中，特别注重在高中数学学习中推理和意义构建的两个统一原则。”这些类似的建议都是基于对过去发现的研究。在下一节中我们将研究，解决学生证明ENT语句的方法,重点是对证明中例子和反例的使用。

学生证明ENT语句的方法

在回顾我们研究学生使用例子和反例的证明中，我们确定了三个主要问题:(a)使用多个例子证明有效的通用语句是错误的；(b)反驳一个支持性的例子足以验证存在语句；(c)举出一个反例,足以反驳一个无效的普遍的声明。

Bell(1976),在他的先锋研究报道中,32个学生(14到15岁)中只有一个是能够提供一个总体参数的三个普遍ENT语句的,而大部分学生为另外两个语句提供了通用参数。大多数学生(86%)提供一个或几个数值例子证明。Haley 和Holes(1998、2000)报告了类似的结果，是由不到一半的英国先进的高中学生提供了一个通用参数通用ENT语句(例如“证明或反驳：两个奇数之和总是偶数”)。来自美国的Selma(1995)和Moore(1994)也报告了类似的结果，甚至大学生通过检查一些数值例子来“证明”通用语句。当学生检查了几个所有情况下数值例子的通用命题时，他们并没有注意到那些例子缺乏通用性。另一方面,即使高中学生承认这样的证明是正确的，他们仍然会检查剩余的数值例子去确保命题的有效性(Fischer和Edema 1982)。

证明是基于一个例子(一个有效的存在支持性的例子或无效的通用声明)的反例，虽然适用于一系列的数学陈述，但可能被学生偏离常态。Silver和Carpenter(1989)报道表明8年级学生很难确定一个反例，如：“Larry命题：对任何实数n，都有n²ge;n，下列哪个可以用来反驳这一命题呢?”选项分别为“1/2、0、1/10、1”（p17），不到40%的同学正确解答了这个问题，23%的人选择1/2，29%的人选择0，9%的人选择1作为反例。随后Galbraith(1981)找到了13到15岁的澳大利亚学生通过构造反例来证明。在这些学生中，28%的学生说一个反例是不足以去推翻命题的，18%的学生说多个反例才可以反驳一个通用语句。同样,Backache(1986、1991、1991 )给学生出示了无效的通用语句，为他们提供数值支持的例子和一个数值反例。即便是面对一个反例，发现学生也很难判断命题是错误的。换句话说，学生可能用普遍性的概念去证明。Stanislavsky和Ron(1998)还发现，甚至高中的高分学生常常感到，反例是一个例外并不是证明过程。此外，他们发现,即使学生能理解反例的反驳作用，往往也无法提供这样的反例；他们可能提供不满足必要条件的例子，或不存在的例子。

教师证明ENT语句的方法

教师证明的知识包括：（a）学科知识（SMK）；（b）教学内容知识（PCK）（Shulman，1986）。在这一部分我们首先回顾教师用SMK证明ENT语句。然后我们探讨教师用PCK证明ENT语句。

教师的数学证明意识包括知道如何制造证据，以及给予证明有效性的评估。相对较少的研究探讨中学教师知识的证明。Dreyfus (2000)和Healy (1998)和高中生一起学习研究，指出44名中学教师普遍认为“两个偶数的和任然是偶数。”他发现许多老师证明一个普通的命题都会给出严格的证明过程。许多评论说，在一个系统的方法中给出众多的实例是不能提供证明命题所需要的必要条件。36名中学教师证明ENT语句的方法是不同的，只有三分之一的教师是可以运用反例去证明命题的。

Tirosh (2002) 提出了一组中学教师普遍存在的观点。大约有一半的参与者认为，不满足命题结论的例子是反例，不能看作是数学证明。这些观点表明，只有当所有案例的数学命题都是真实的，这个观点才是正确的定理而不是不存在的定理。

很少有研究去探讨教师关于ENT语句的证明的教学内容。然而，教师不仅要能够证明或反驳自己的陈述，还必须能够评价学生的证明。评价的标准不仅包括评价证明过程的正确性，同时还要看学生知识的掌握情况。例如Dreyfus (2000)发现一些教师，即使他们知道一个命题是正确的，却认为学生应该再多提供几个例子。教师也会评价命题的表示方式，说可以作为一个口头证据，虽然很有效，但却缺乏清晰的符号和代数证明。教师教学的另一个方面是他们对学生的偏见和误解。这包括，了解学生正确的和错误的证明过程。Tabach et al(2009)发现，一些中学教师不总是能够意识到这些方面。

结语

我们的研究显示了中学教师证明数值例子和反例的意识。这是一个重大的发现。在数学教育研究领域，我们认为揭示教师知道什么知识和不知道什么知识是一样重要的。在本文中我们在两种情况下研究了被测验教师用数学知识去证明命题，这种方法也可以说明反例在数学证明中的作用。在一个数学题目中检查教师使用反例的意识，对今后的教育都存在着比较重大的意义。

论文出处：Research in Mathematics Education

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