环中极大理想与素理想及其关系

摘要：环论是当代数学研究领域的一大分支。它在抽象代数中占有非常重要的地位，学术界对于环的研究数不胜数。极大理想和素理想是环的两大重要理想。有关于常见环的极大理想与素理想的研究也有很多，但还是没有关于这两大特殊理想之间的联系。本文主要从三个方面进行研究：一、考察常见环的极大理想，二、考察常见环的素理想，三，研究极大理想与素理想之间的关系。

关键词：常见环 极大理想 素理想

3.4 极大理想和素理想

本节的目的是阐述具有单位元的交换环的理想，相当于那些在域上可积的商环。

定义3.4.1 若是一个环，是的一个双边理想，且不存在的真理想，使得是的真子集，那么称是的极大理想。

举个例子:

1. 在整数环中，因为理想是整数环的真理想并且理想是理想的真子集，所以理想不是最大理想。（通过一个真理想，我们认为这个真理想并不是等于整个环）
2. 在整数环中，理想是极大理想。假设是整数环的一个理想，并且是的真子集。那么必定存在且，即5不能被整除，则因为5是素数，那么我们可以写成

,都为整数。因为且也就是说，那么，是整数环的极大理想。

1. 整数环的极大理想的形式恰恰符合，其中是素数。

下面是一个广义上的说法：是域，当是素数时。

定理3.4.2 是一个有单位元的交换环，是的一个理想。那么商环是域当且仅当是的一个极大理想。

证明：有两件事要呈现在这里。我们必须证明如果是域（即中的每一个非零元素是一个单元），那么是的一个极大理想。这样做的一个有效的策略为了假设是的一个理想，且是的真子集，试着证明.

我们同样必须证明如果是的一个极大理想，那么中的每一个非零元素是一个单元。以下是一个有效的策略：如果不属于（因此不是的零元），事实证明是的一个极大理想意味着唯一的理想同时包含了和元素就是本身。特别地，这个唯一的理想同时包含了和元素也包含了的单位元。

定理4.2.6的证明：假设是域，是的一个理想，且是的真子集。令，，那么不是的零元，所以，对于一些，那么，令。现在有，因为且，所以有。由此可见，所以是的极大理想。

假设是的极大理想，令是中的非零元素。我们需要证明存在使得。这样意味着，或者.因此我们需要证明存在使得。令表示中元素的集合表现形式为

对于一些和

那么是的一个理想（已证），因为且所以是的真子集。又因为是的极大理想，所以。特别地，对于一些和有和。那么有和

在上

因此，根据要求在上有逆元。

我们将会描述中的那些理想，是积分域。

定义3.4.3是交换环，若，每当，对于中的元素，有或者。

举个例子：虽然2和3都不属于理想，尽管，所以理想并不是整数环的素理想。然而是整数环的素理想。因为只有当两个数任意其中一个数是5的倍数，那么这两个数的结果也将是5的倍数。整数环的素理想恰好也是极大理想，那么他们有的形式，其中是素数。

定理3.4.4 是有单位元的交换环，是的一个理想。那么商环是积分域当且仅当是的素理想。

证明：是具有单位元的交换环，因此我们需要证明具有零元当且仅当不是的素理想。因此，令，是中的非零元素。这意味着且。我们在中有当且仅当。这些情况对于一些，是成立的当且仅当不是素理想。

结论3.4.5 是有单位元的交换环，那么的每一个极大理想都是素理想。

证明：是的一个极大理想，那么是一个特殊的可积的域。那么是的素理想。

问题讨论：仅用极大理想和素理想的定义去证明结论3.4.5。

具有单位元的交换环的每一个素理想都是极大理想是不正确的。

举个例子：

1. 我们已经见证了整数环中的零理想是素理想并不是极大理想。
2. 在中，令表示那些包含常数项为0的所有元素的理想（是由产生的主理想）。因为它包含了当中常数项是偶数的多项式，所以是的素理想，并不是极大理想。

定理3.4.6 是一个域，是多项式环的一个理想。那么：

1. 是极大理想当且仅当对于在中一些不可约的。
2. 是素理想当且仅当或者对于一个属于不可约的。

证明：由引理3.2.3得是主理想，对于一些有。

1. 设是不可约的，是包含的的一个理想。那么对于一些都有。因为，对于，我们有。因为是不可约的，这意味着有零次项（即中的非零元素）或者有零次项。如果有零次项，那么在中且。如果有零次项，对于一些非零的，有，且；那么且。因此，不是就是，因此是的极大理想。

假设是的一个极大理想，那么。如果是的分解因式，那么和都至少含有一次项且和是真包含的的理想。这个的极大性的矛盾，所以我们得出结论是不可约的。这就证明1.

2.当然的零理想和由不可约的多项式生成的主理想都是素理想。每一个理想对于可约的都有的形式。如果，，此时的和都有比少的次数，那么，都不属于，但是它们的乘积是属于的。因此，不是素理想。

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