什么是数学外文翻译资料

什么是数学

摘要：数形结合的思想在中学数学方面的应用很广泛。本文通过一些例子详细阐述数形结合的思想在解决解决有关方程问题、几何问题及其求极值问题等方面的应用。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

关键词：中学数学；数形结合；高考试题

第一章补充 数论

引言

自然数虽然逐渐失去了它和宗教迷信及神秘主义的联系，但是数学家对它的兴趣丝毫也没有减退。欧几里得（约公元前300年）大概是对数论作了最初贡献的人（他的出名是由于在他的《原本》中有一部分内容构成了中学课程几何学的基础，虽然他的几何学的大部分内容只不过是前人工作的一个总结）。亚历山大城的一个早期的代数家丢番都（Diophantus）（约公元275年），留下了他关于数论的著作。费尔马（P.Fermata）（1601--1665），士伦的一个法官，他那时代最大的数学家之一，是近代数论的开创者。欧拉（Euler）（1707--1783），最多产的数学家，在他的研究中有相当多的是数论方面的工作。在数学杂志上很有名的勒让德（Legendre），狄里赫莱（Dirichlet），黎曼（Riemann）也可以列入这个名单中。高斯（Gauss）（1777--1855），是近代第一流的数学家，在数学的许多不同分支都有他的贡献；据说他用下面的话表示他对数论的看法：“数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后。”

sect;1 素数

数论中的多数命题（如同数学是一整体那样）不是涉及单个的对象（例如数5或数32），而是涉及某些有共同性质的一类对象，例如，全体偶数集，

2,4,6,8，hellip;hellip;，

或全体能用3整除的整数集，

3,6,9,12，hellip;hellip;，

或所有整数的平方的集，

1,4,9,16，hellip;hellip;，

等等。

在数论中，最基本的、最重要的一类是素数。大多数整数能分解成较小的因子：10=2*5,111=3*37,144=3*3*2*2*2*2等等。人们都知道，不能这样分解的数就是素数。更确切地说，一个大于1的正整数p，它除了1和它本身外没有因子，就称它是素数。（如果有某个整数c使得b=ac，则称整数a是整数b的因子或除数。）2,3,5,7,11,13,17，hellip;hellip;这些数是素数，而，比如说，12就不是，因为12=3*4.素数的重要性在于这一事实：每一个整数都能表示为素数的乘积。如果一个数本身不是素数，那么可以不断地对它进行因子分解，一直到所有的因子都是素数为止。例如，360=3*120=3*30*4=3*3*10*2*2=3*3*5*2*2*2=。一个整数（除了0和1）如果不是素数，就称为是合数。

对于素数，最初所产生的一个问题是：究竟只有有限个不同的素数，还是素数类包含无穷多个元素，如同全体正整数那样（虽然素数只是正整数的一部分）。回答是：有无穷多个素数。

关于素数有无穷多个的证明（它是由欧几里得给出的）至今仍然是数学推理的一个典范，这是用“反证法”来进行的。我们从一个常试性的假定出发，即认为这定理是不对的，也就是说假定只有有限多个素数，也可能很多——十亿或更多——用一般的、非确定性的方式来表示，记为有n个。采用下标的写法，我们可以用p₁，p₂，hellip;，p_n来表示这些素数，其它任何一个数都是复合数而且素数p₁，p₂，hellip;，p_n中至少有一个能整除它，我们现在构作一个数A，让它比p₁，p₂，hellip;，p_n中间任一个都大，从而与它们中任何一个都不同，又让它不能被p₁，p₂，hellip;，p_n中的任一个整除，因而产生矛盾，这数是

A=p₁p₂hellip;p_n 1

即我们所假设的所有素数的乘积再加上1，A比这些p中的任一个都大，因而必须是合数，但用p₁，p₂等去除A总是余1，因而这些p不是A的因子。这是由我们当初的假设（仅有有限个素数）而导致的矛盾。因而这假设只能被看成是荒谬的，从而它的反面必然是正确的。定理证完。

虽然这个证明用的是反证法，但稍加修改一下，至少在理论上可给出一个，构造出无穷多个素数的方法。我们从任一个素数开始，例如p₁=2，假设我们已经构造出了n个素数p₁，p₂，hellip;，p_n，这时我们看数p₁p₂hellip;p_n 1，或者它本身是一素数，或者它有一个素数因子，而且这个素数因子不同于以造出的那些素数。由于这个因子总能通过直接试验来确立，因而我们保证在任何情况下都至少能找出一个新的素数p_{n 1}。照这个方法进行下去，我们看到可构造的素数序列绝不会终止。

习题：从p₁=2，p₂=3开始，进行这种构造，找出5个以上的素数。

当一个数已被表示成素数的乘积后，我们可以用任意的次序来排列这些素数因子。稍有一点经验就可知道，除了次序可以任意排列外，一个数N的素因子分解是唯一的：每一个比1大的整数N只能有一种方式分解成素数的乘积。这命题初看起来似乎是如此明显，以至于人们一直都倾向于承认它。但它绝不是不证自明的，而且这证明（虽然完全是初等的）要求某些细致的推理。由欧几里得给出的这个“算数基本定理”的古典证明，是建立在（找两个数的最大公因子）欧几里得辗转相除法上的。这将在第65页讨论。而在这里，我们给出一个比较新的证明。这是反证法的一个典型例子。我们将假设存在一个整数，它有两种根本不同的素数分解，然后从这假设出发导出一个矛盾。于是表面“存在一个有两种根本不同的素因子分解的整数”的假设是不对的。因此每一个整数的素数分解是唯一的。

如果存在一个能分解为两种根本不同的素数乘积的正整数，则这样的正整数中必有一个是最小的（见第31页）

， （1）

这里的p,q等是素数。通过重新安排p及q的次序（如果需要的话），我们可以认为

.

现在不能等于。因为如果相等，我们能从等式（1）的每一边消去第一个因子得到一个小于m有两个根本不同的素因子分解的正整数，这与m的选择（m为有这种可能的最小正整数）相矛盾。因此，或者＜，或者＞。假设＜（如果＞，我们只需简单地调换下面讨论中的字母即可），我们构造一整数

. （2）

把（2）中的m用等式（1）中的两个表达式代入，我们可以把写成

, （3）

和

. （4）

由于＜，从（4）知是一个正整数，而从（2）知是小于m的。因此的素数分解，除了因子次序外，必须是唯一的。但从（3）知素数是的因子，因此由（4）知必须是或的因子（这从的素数分解的唯一性得出，见下一段的论证）。由于所有q都比大，这后一情形是不可能的。因此必须是的因子，这样就有某个整数h使

或.

这表明是的一个因子，与是素数这事实矛盾。这矛盾表明我们最初的假设是站不住脚的，因而完全证明了这个算术基本定理。

这基本定理的一个重要推论是：如果一个素数p是乘积ab的因子，则p必须是a的因子，或是b的因子。因为如果P既不是a的因子，也不是b的因子，那么把a和b素数分解后再相乘，得到整数ab的一种素数分解，其中不包含p。另一方面，由于p是ab的因子，故存在一整数t使

ab =pt.

因此，p乘以t的素数分解，将是ab的一个包含p的素数分解，这与ab的素数分解是唯一的这个事实矛盾。

外文文献出处：

Richard Courant, Herbert Robbins. What is mathematics[M]. Oxford University Press. 1996: 21-24．

外文文献原文附后

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