不连续动力系统原理 ——具有固定脉冲时刻的系统及其解的描述外文翻译资料

不连续动力系统原理

——具有固定脉冲时刻的系统及其解的描述

原文作者 Marat Akhmet

2.1空间分段连续函数

令 和 分别是实数集,自然数集和整数集,表示通过 严格增加实数序列这样的设定 是 中的一个区间:

定义2.1.1 theta;是一个B序列,如果下列备选方案之一是有效的:

(a) =Oslash;

(b) 是一个非空的有限集合;

(c) 是一个无限集，比如 ，。

例2.1.1. A=｛-1，1，2｝，并且 ，则满足条件（b）。

例2.1.2. ，当 ，则属于c类B序列。

例2.1.3. ，当 ，则不属于B序列。

很明显,任何B序列没有有限的极限点。

例2.1.4. ， ，不属于B序列

用 表示B序列函数的集合。

设一个序列 。

定义 2.1.2. 函数 是从属于 ,那么：

(1)它是连续的;

(2)它是连续的,除了在 点属于第一类不连续。

最后一条定义的意思是如果 ，对任意的 都满足存在右极限 并且，当 ，

令

定义 2.1.3. 如果函数 ， ，且在 处左边可导那么它是从属于 的。

接下来这个部分， 是 中的一个区间，为简单起见， 是 中一个不必要的子集。

定义2.1.4. 如果函数 是 一个延续函数，那么它是属于 的

定义2.1.5. 如果函数 是 的一个延续函数，那么它属于 。

题2.1.1. 证明定义2.1.4和2.1.5分别于定义2.1.6和2.1.7.等价的

定义2.1.6. 函数 是属于 ，那么：

（1） 是左连续的；

（2） 是连续的,除了在 点属于第一类不连续。

（3）如果T是有界的，那么 存在单侧极限。

定义 2.1.7. 函数 是属于 ，那么：

（1） ;

（2） ，它的界点是单侧可导的，并且 点导数一般认为是左边可导的。

因此，我们将使用下面的定义。

定义2.1.8. 函数是属于 ，那么：

（1） 是左边连续的；

（2） 是连续函数，除了从点处于第一类不连续。

定义2.1.9. 函数 属于 ，那么：

（1）

（2） 它的界点是单侧可导的，并且点导数一般认为是左边可导的。

题2.1.2. 假设区间T是以下类型的一种： ； ：半开区间；半开区间 ， 。求证： ,否则， 。

题2.1.3. 最大的整数函数是否属于

2.2 系统的描述

令开区间 ， 是包含 的非空B数列，并且开放的通集 ， 。考虑函数 和 ，可以记为 或.

在本章节中一般认为 是一个连续函数。

对于一个固定的 ，我们引入一个G上的转换运算

令 是一个定义在 的一个领域，我们令 ，则假设 存在。应用转换运算 ;定义以下方程的步骤：

或者

（2.1）

定义2.2.1 我们叫这一对为方程(2.1)和常微分方程

（2.2）

的衍生点被认为是左导数,不连续的向量场。

因此,不连续的向量场的形式为

（2.3）

我们将调用这个领域,脉冲微分方程(2.3)。该领域的一组方程是。

在我们的书中,除非另有规定，否则我们提出以上假设都是有效的。

答案分别是，普通的微分方程（2.2）是独特的存在于任何区间。它有一个最大的开区间，和任意一个极限点为 ，令t是区间的一个端点，是 的一个边界点。

让我们记住是有效的假设，比如， 就满足一个当地李普希茨条件。

定义2.2.2 对 的任意一个子集K中都存在一个正数 ，使函数 满足李普希茨条件，并且遵从x，那么

。

2.3解决方案的描述

假设 ： ， 是一个开区间，是 的一个解决方案。也就是说，它满足微分方程和跳跃方程。

定理2.3.1 的解属于 .

证明： 可微，那么它在 是连续的，因此，是连续的，我们有同样是连续的， 在点左边可微。因此， 是 左边的一个连续函数。现在，由于的连续性， 是一个在的左方连续函数。由此可得，方程式为：

的解的右极限存在，并且

利用最后一个等式（2.2），可以得到一个极限

存在。因此我们可以得到结论为 。定理得到证明。

练习2.3.1.假设一个函数：，是一个有界闭区间，是方程式（2.3）的解，证明 。

例2.3.1 考虑以下系统

（2.4）

当 ,函数为

（2.5）

很容易得到函数 满足微分方程。而且， 和 。也就是说， 是（2.4）的一个解。我们可以看到 ，如果 。

练习2.3.2 证明（2.4）的解 是一个2次周期函数。

接下来，我们考虑脉冲微分方程（2.3）解的存在性和延伸性。因为有时候不连续的奇异性，扩展的程序比普通微分方程更复杂。

我们将用到下面的类似于普通的常微分方程的定义[60,77,98]

定义 2.3.1. 若，并且在上，则（2，3）的一个解是解在上的延续，并且在是可持续的。

定义2.3.2 若不存在区间上的解的延续，则区间是（2.3）的解存在的右边最大区间。

同样，可以定义一个左边最大区间的存在。

定义 2.3.3 若区间都是解的左边右边的最大区间，则是（2.3）的解存在的最大区间。

令 点，用表示初值问题（2.3）的一个解，并且。

扩展存在的最大区间。我们将扩展这个解，如果：

（a）是递增的，；

（b）是递减的，。

在情况（a），由两个分例构成：

（a1）

（a2）存在，。

在这个续集里，我们用表示常微分方程（2.2）的一个解集，例如。

让我们考虑情况(a1),此时，初始值不是一个中断点。为了更加具体，假设存在固定的，使，（见图2.1）。用表示解集的右最大区间。若，则是的最大区，并且。反之，，并且若，则在是不连续的，并且的最大右区间是若，则当，可以被扩展为。用表示的最大右区间。若，则是的最大右区间，，.若并且则存在的最大区间是。若并且，则是连续的，等等。

若A是有限集，然后通过有限的步骤我们将定义的最大右区间有界或无界。现在，假设数集A是右边无界的。由两种解的拓展：步骤的数量是无限的，则最大右区间是无界的；步骤的数量是有限的则最大右区间是有界的。

现在，考虑子集，存在使。那么初始值是一个不连续点。若，则不存在使；若，则。那就是解在进行跳跃，并且和情况（a1）一样进行进一步的讨论。

考虑解左延续，对于情况（b），对下面的练习是有用的。

练习 2.3.3 解释为什么初始值在左延伸是不连续点。

外文文献出处：中国知网

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