Research On Mathematical Proof
1. Introduction
The formulation of conjectures and the development of proofs are two fundamental aspects of a professional mathematicianrsquo;s work. They have a dual character. Firstly there is the personal, intimate side, which aims at clarifying the position the researcher has reached in his/her own understanding, through the statement of explicit hypotheses. Secondly there is the collective side, where a conjecture is proposed for the reflection of other mathematicians, sharing ideas, as yet unsure. In this context a proof is a means of convincing oneself whilst trying to convince others.
These two facets of advanced mathematical thinking are generally absent in undergraduate mathematics at university, where the subject matter is presented as a finished theory, where “all is calm ... and certain” and proofs are developed along traditional lsquo;linearrsquo;, deductive lines.
The epistemology (the understanding of the structure of knowledge) generated by such teaching practices is thus diametrically opposed to the reality of the mathematical community.
A study of textbooks for students at this level appears to confirm that the semantic characteristics of the mathematics – the control of meaning – is not a primary aim. Instead emphasis is placed on the syntactic aspects in carrying out and using the results of algorithms.
This apparent conflict between the practice of mathematicians on the one hand, and their teaching methods on the other, creates problems for students. They exhibit a lack of concern for meaning, a lack of appreciation of proof as a functional tool and an inadequate epistemology.
It may well be that the studentsrsquo; view of whether proof is a necessary mathematical activity, their understanding of the need for rigour, and their preference for one type of proof over another, are concerns which have been neglected by some mathematics educators in favour of a perceived need to preserve the precision and the beauty of mathematics. A consideration of the studentsrsquo; view may be especially important during the transition phase when they are first exposed to the rigour of formal proof as it often occurs in a first year university mathematics course.
Researchers in this area of mathematics education have demonstrated that there is an important difference between communicating sufficient understanding of a proof to convince students of a result, and a formal, rigorous proof that it is true. Balacheff (1982, 1988) has described various levels on which proof may exist, and the importance of distinguishing between convincing arguments and rigorous proof. The latter may well be a suitable instrument to be used in the kind of formal text that mathematicians write in books or research articles, but may not be suitable when initially passing on acquired knowledge to students. One difficulty associated with achieving a proof which is both meaningful and formally acceptable to students is:
How do we include the main ideas through which we understand why the result is true at the same time as the necessary details to make it rigorous?
We shall discuss this and other aspects relating to how understanding of proofs may be better communicated to students. We shall also pay particular attention to studies emphasizing the nature of proof as an activity with a social character, a way of communicating the truth of a mathematical statement to other people, helping them to understand why it is true.
A major area of difficulty linked with this social character of proof which we shall consider here is:
How can we manage to make students see proof as a necessary step in the scientific process, alongside activities such as research, the formulation of conjectures etc. and not just as a formal necessity required by the teacher, or as an answer given by the teacher in response to a question which the student may not have asked?
These two problems, respectively, have been the subject of research by Leron in the Department of Science Education of Haifa University, Israel and Alibert, Grenier, Legrand and Richard in the Research Group in the Didactics of Mathematics at the University of Grenoble, France. Leron (1983a, 1985a) has proposed a method of structuring proofs to improve the way students understand them, while Alibert et al (1986, 1987, 1988abc, 1991), Grenier et al (1984, 1985) and Legrand amp; Richard (1984) have designed a new teaching method involving scientific debates in order to encourage students to see the necessity for proof as a mathematical activity.
2. Studentsrsquo; Understanding of Proofs
First we shall turn our attention to the studentsrsquo; perspective of proof in a mathematics course. What are the characteristics of the proofs which they prefer and claim to understand better, and how good is their understanding?
Several researchers, including Fischbein (1982), Movshovitz-Hadar (1988) and Tall (1979) have investigated aspects of the teaching of proofs which may be appropriate for presenting material in a potentially meaningful manner for the learner. There are proofs, for example where the inner parts of the proof are not trivial, where structured proofs and linear (or formal deductive) proofs display similar pedagogical problems.
Tall (1979) is concerned with the studentsrsquo; first acquaintance with proof at university and investigates which of several types of proof they find more understandable. Following Steiner (1976), he suggests the concept of a generic proof as a potential way round such problems. Such a proof works at the example level but is generic in that the examples chosen are typical of the whole class of examples and hence the proof is generalizable. This may be contrasted with general proof which works at a more general level but consequently requires a higher level of abstraction. Whilst there may be no
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附录A 译文
数学证明研究
1. 引言
猜想的表述和证明的发展是专业数学家工作的两个基本方面. 它们具有双重特征. 首先是个人方面，旨在通过明确假设的陈述来澄清研究人员在他/她自己的理解中达到的立场. 其次是集体方面，提出了一个猜想，供其他数学家反映，分享想法，但尚不确定. 在这种情况下，证明是一种说服自己，同时试图说服他人的手段.
高级数学思维的这两个方面在大学的本科数学中通常不存在，其中的主题被呈现为一个已完成的理论，其中一切都很“平静和确定”的证明是沿着传统的“线性”演绎发展起来的.
因此，这种教学实践所产生的认识论（对知识结构的理解）与数学界的现实截然相反.
对这一级别学生的教科书的研究似乎证实，数学的语义特征——对意义的控制——并不是一个主要目标. 相反，其重点是放在执行和使用算法结果的语法方面.
数学家的实践与他们的教学方法之间的这种明显冲突给学生带来了问题. 他们表现出对意义缺乏关注，缺乏对证据作为功能工具的欣赏以及认识论的不足.
很可能，学生对证明是否是一种必要的数学活动的看法，他们对严谨性的理解，以及他们对一种类型的证明的偏好，以及他们对一种证明的偏好，都被一些数学教育者所忽视，而倾向于认为需要保持数学的精确性和美感. 在过渡阶段，当他们第一次接触到严格的形式证明时，考虑学生的观点这一行为就特别重要，因为它经常发生在大学一年级的数学课程中.
数学教育领域的研究人员已经证明，传达对证明的充分理解以说服学生相信结果与正式严格证明它是真实的之间存在重要区别. Balacheff（1982，1988）描述了可能存在证明的各个层面，以及区分令人信服的论点和严格证明的重要性. 后者很可能是数学家在书籍或研究文章中写的那种在正式文本使用的合适工具，但在最初将获得的知识传递给学生时可能并不合适. 与获得学生既觉得有意义又正式接受的证明相关的一个困难是：
我们如何包含主要思想，通过这些思想，我们理解为什么结果是真实的，同时使其过程严格也是必要的？
我们将讨论如何更好地向学生传达对证明的理解的这一方面和其他方面. 我们还将特别注意强调证明作为具有社会特征的活动的性质的研究，这是一种向其他人传达正确的数学陈述的方式，帮助他们理解为什么它是真的.
与这种社会认同相关的一个主要困难是：
我们如何设法让学生将证明视为必要的步骤. 科学过程，以及研究，猜想的产生等，而不仅仅是作为对教师必要的要求，或者作为教师在回答学生可能提出的问题时给出的答案.
这两个问题分别是以色列海法大学科学教育系的Leron和法国格勒诺布尔大学数学教学研究小组的Alibert，Grenier，Legrand和Richard的研究主题. Leron（1983a，1985a）提出了一种构建证明的方法，以改善学生理解它们的方式，而Alibert等人（1986，1987，1988，1991），Grenier等人（1984，1985）和Legrandamp;Richard（1984）设计了一种涉及科学辩论的新教学方法，以鼓励学生将证明视为数学活动的必要性.
2. 学生对证明的理解
首先 ，我们将把注意力转向学生在课程中对数学证明的看法. 他们更喜欢并声称更好地理解的证明的特征是什么，他们的理解有多好？
几位研究人员，包括Fischbein（1982）， Movshovitz-Hadar （1988）和Tall（1979）研究了证明教学的各个方面，这些方面可能适合以对学习者具有潜在意义的方式呈现材料. 有些证明中的结构化证明和线性证明（或形式演绎）暴露出类似的教学问题，例如，证明内部是非平凡的.
《高个子》（1979）关注的是学生在大学里第一次认识证明. 并调查他们认为几种证明方法中的哪一种更容易理解. 继Steiner（1976）之后，他提出了通用证明的概念作为解决这些问题的潜在方法. 这样的证明在示例上有效，且具有通用性，因为所选的示例是整个示例类的典型，因此证明是可推广的. 这可能与一般证明形成对比，后者在更一般的水平上工作，但因此需要更高层次的抽象. 虽然单纯从逻辑角度来看，形式证明可能无法替代，但如果通用证明能够提高学生的理解，则有时可能更可取.
在讨论是无理数的证明时，Tall描述了一项研究，其中33名一年级大学生提出三个结果证明：一个一般证明，一个通用证明以及一个矛盾的标准证明. 在第二份问卷中，37名学生回答了一个通用的和矛盾的证明.
这里使用的通用证明是：我们将证明，如果我们从任何有理数开始并对其进行平方，那么结果不能是.
在对任何整数进行平方时，任何质因数在的素数分解中出现的次数在的质因数分解中加倍，因此在中每个素因数出现偶数次（例如，如果，则）.
在中，将和分解为素数，并取消可能的公因子. 每个因子要么完全取消，要么我们在分数的分子或分母中留下该因子的偶数次出现. 分数永远不能简化，因为后者是，其分子中有奇数5（分母中有奇数2）.
结果表明，在理解和缺乏混淆方面，对无理数的一般证明明显优于矛盾证明. 此外，不管一般证明还是矛盾证明，相对于无理数的一般证明在上都存在着非常显著的偏好.
Dreyfus amp; Eisenberg（1986）向数学家们提供了五个无理数的证明，他们被要求根据优雅程度对它们进行排名. 有趣的是，专家的个人偏好是更古老，更基本的证明，包括与上述类似的证明. 德雷福斯和艾森伯格得出结论，论证的清晰性和简单性是两个主要因素，在试图培养数学鉴赏力时应该指导人们. 在证明中使用通用示例可能是促进此类论点的一种方式.
Movshovitz-Hadar （1988）还推荐了一种“通用示例辅助”类型的证明. 将这种证明方法应用于定理：
对于任何矩阵，为正整数，使得形成具有相同公差的算术级数，则任何个元素（其中没有两个元素位于同一行或列中）的总和是不变的.
她使用矩阵作为示例：
小到足以作为具体的例子，但又大到足以被视为一般情况的非具体代表. 案例的证明有点“透明”，人们可以通过它看到一般证明，因为没有特定于情况的案例进入证明. （莫夫肖维茨-哈达尔，1988年，第19页）
对学生来说，似乎这种证明的解释力可以取代一般证明的普遍性，从而产生更有意义的理解. 在这些情况下，证明中的数学洞察力可能比精确度更重要.
Vinner（1988）的研究表明，当采用这种通用的证明方法时，人们应该意识到，由于他们对线性形式主义的倾向而产生的认知障碍，学生可能会抵制接受证明. 他给学生两个中值定理的证明，其中指出：
如果函数在和之间是可微的，并且在和处是连续的，则和之间有一个点，使得
第一个证明是标准代数证明，将罗尔定理应用于
第二个是视觉证明，涉及按下图所示移动和弦AB，与自身平行，直到它成为切线.
图31：中值定理
在74名学生中，29名学生认为视觉证明更有说服力，28名学生认为代数证明和17名学生认为它们具有同等价值. 那些喜欢代数方法的人倾向于评论视觉方法中存在错误或“非法”的东西，Vinner认为学生学生的代数偏见是由环境影响产生的，与“习惯”和“便利性”有关，而不是认知必要性. 这种需要正式演绎证明的感觉可能源于对任何其他方法缺乏信心，而不是对代数美学的亲和力.
Fischbein的研究揭示了学生理解证明的另一个方面. 他发现，他们可能理解定理陈述本身，他们甚至可能通过使用结构化证明，或者以其他方式掌握证明的结构，但他们仍然可以欣赏该陈述的普遍有效性，因为该陈述是由证明的有效性所保证的. 这个结论是在一个研究项目之后得出的，在这个项目中，大约四百名受过高级数学训练的高中生得到了这个定理的正确证明：
对于每个整数，可被6整除.
然后，学生们被问到关于定理有效性的各种问题. 虽然81%的人检查了证明并声称它在每个细节上都是正确的，68.5%的人同意这个定理，60%的人认为证明所保证的定理的普遍性，但只有41%的学生接受了这三个定理. 此外，只有24.5%的人接受证明的正确性，同时回答说不需要额外的检查，只有14.5%的人在他们的答案中完全一致.
对于数学家来说，定理的证明是定理普遍有效性的绝对保证. 他相信这种有效性. （Fischbein，1988年，第17页）
问题是，如何在证明其他方面传达必要的信息，使个别学生在认知上综合对结果真实性的正式理解以及对其普遍有效性的可接受？数学证明阐述中的这种教学必要性可能仍然需要解决.
3.证明展示的结构方法
长期以来，数学证明往往具有一种格式，要求它们以严格的序列/顺序方式阅读，并带有子证明或引理，它们本身也有很强的顺序性 这种证明风格使得获得全局视图需要足够的数学复杂性来很好地理解序列的细节，以便能够在证明过程中将它们与整体主题联系起来. 这种在必要时从数学的顺序视图切换到全局视图的能力以及从全局视图切换到顺序视图的能力是被描述为多才多艺的学习者的特征（Tallamp;Thomas，1989）. 为了促进学生的多才多艺，Tallamp;Thomas（1990）强调了积极鼓励全球数学观点的重要性和价值，除了更熟悉的数学序列主义演示之外，确实需要在教学中推广它. 利用计算机模型提供的好处，他们已经获得了一些证据，证明能够在数学的全局视图和顺序视图之间切换的多才多艺的学习者更有可能在代数作为广义算术（12-14岁的学生）的早期学习中取得成功，并且在微积分的初始阶段， 并将这种改进的能力置于适用于其他数学领域的理论背景下.
Leron（1983a,1985a）试图将正式和非正式的呈现方法融合成一个严谨但具有解释性的证明. 他在形式论中建立的两种非正式实践（启发式）是：
bull; 一个冗长而复杂的证明的序言，以及一个简短、直观的概述；
bull; 一种构造数学对象（解对象）的方法，通过使用给定的约束来搜索解对象，然后使用其形式来定义它，从而满足约束系统.
这种证明他称之为结构性证明.
在这里，主要目的不仅仅是说服，而是帮助听众或读者真正理解证明背后的思想及其与其他数学结果的联系. 相比之下，通常的“线性代码”类型的证明不仅经常无法阐明主要思想，甚至可能掩盖它们. 这种类型的证明可能很适合于确保证明的有效性，但它不适合数学交流的作用. 在某些极端情况下，作者甚至认识到他/她自己的证明未能对数学的理解提供任何真正的见解. 例如，当代最著名的数学家之一Deligne（也是菲尔兹奖的获得者）在对派生函子和类别的非常正式的证明之后写道：
“如果任何了解这个演示的人能向我解释一下，我将不胜感激. ”
（德利涅，第584页）
清楚地证明和解释似乎是两种不同的数学活动.
传统证明的线性形式主义可以被描述为传递数学知识所需的最小代码. 然而，似乎在几个重要方面，它是一个次级最小的代码，导致对理解至关重要的信息的不可挽回的丢失.
虽然数学教育中的大多数工作都正确地寻求通过补充形式主义来改善数学的学习和交流，但同样重要的是要审视形式主义本身，并考虑如何改进它，从而更好地沟通和理解. 当然，希望数学专业的学生能够积极参与发现和构建尽可能多的数学，但也有必要找到更好的方法来将这种数学活动的产物传达给他人.
呈现证明的结构方法的基本概念是将证明排列在级别中，从上到下进行. 每个级别都由简短的自主模块组成，每个模块都体现了证明的一个主要思想. 这种类型的结构在计算机科学中已经被认可和众所周知，作为构建复杂计算机程序的方法，它被称为自上而下的编程.
应该指出的是，我们在这里提到的术语“主要思想”更多地用于该概念的抽象意义上，这使人们能够获得证明的子部分的概述，而不是表明在数学上是证明中最重要的思想之一.
分析这种类型的结构证明的一些例子（见下文）是有用的， 以确定两种方法给出的处理方式的差异，并具体了解证明的“主要思想”的含义. 一个主要思想通常包含在一个在中间对象的构造中新的枢轴（之所以这样命名，是因为其余的证明取决于它），旨在找到解决假设和结论分歧的方法. 枢轴在证明（或子证明）中占据中心位置，因此它提供了一个有利位置，从中可以查看证明的全局体系结构.
在线性方法中，枢轴通常处理得很差，其改善理解的潜力被浪费了. 相反，证明开始类似于从帽子上拉出兔子，因为关键概念可能在证明开始时引入，可能只是通过对其定义的简单陈述.
在证明的第一级中，确定了一个工具枢轴（例如集合，关系，函数等 ），其存在对于要开发的证明至关重要. 由于这是一个工具，因此它被赋予了一些属性，这些属性也将用于证明，尽管工具枢轴的实际存在
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