余交换Hopf代数中的Rota-Baxter算子文献综述

文献综述

相关定义如果存在有限个元素x1,,xnisin;R,使得R的每个元素都可以写成系数在k中的x1,,xn的多项式的形式，那么一个k-代数R称为是有限生成的。

设R是一个有限生成k-代数,M是R的一个极大理想,则k=R/M。

余代数：域 K上的余代数是一个K-向量空间C及K-线性映射Delta; ：（余乘法）； : （余单位），满足：1.2. Rota-Baxter算子：设R是一个k-代数,如果R中的一个线性算子P:R→R满足Rota-Baxter方程 P(x)P(y)=P(xP(y)) P(P(x)y) lambda;P(xy),（x,yisin;R）。

那么，则称P是R上的一个权重为lambda;的 Rota-Baxter算子，其中lambda;isin;k。

显然, 0映射 0: R → R 是任意环 R 上的 Rota-Baxter 算子。

因此每一个k-代数都可以看成是一个Rota-Baxter k-代数，单位映射显然是权重为-1的 Rota-Baxter算子。

如果A 是一个域F上的向量空间 并且定义A上的上乘法运算Delta;: ，并且对于aisin;A，都有在一个Hopf代数结构H=(H,mu;,Delta;,eta;,,S)上，可以定义 mu; : 为A上的乘法运算, Delta; ：为A上的余乘法运算， eta; : 为单位,: 为余单位, S : 为对极映射。

所以，Hopt代数是指域F上的双代数结构（代数结构与余代数结构彼此相容的结构）配上S这个对极映射。

研究历史与发展在上世纪80年代,一些数学家在研究Yang-Baxter方程时,在Lie代数中发现了RotaBaxter恒等式, 从而引起了很多数学家和物理学家的兴趣。