加权Hardy不等式外文翻译资料

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加权Hardy不等式

摘要：本文是研究关于在测度和下，存在一个有限值，使得

成立的充分必要条件，其中是一个固定的数且满足。对于绝对连续的测度，我们给出了一个已知条件的新证明，并给出了一个随着测度变化的插值而产生的一个新条件。被替代的情形将被刻画。对于Borel测度，一个类似前面第一个绝对连续测度条件的条件将被证明。根据条件的常数也给出了对的估计。

1.引言 对于Hardy不等式，文献[5],p.20,给出：若和满足，那么

（1.1）

成立，并且这个指定的常数是最可行的。有几位作者：Tomaselli[4]，Talenti[3]，和Artola[1]，他们最近已经研究了对于函数和，存在有限值使得

（1.2）

成立的问题。当然，这只是不等式（1.1）中和被权重函数和所替代。他们主要结论是以下的定理。

定理1. 若，对于（1.2）存在一个有限值是成立的，当且仅当

（1.3）

成立，其中。此外，若是使（1.2）成立的最小的常数，那么当时，成立，并且当时，成立。

在这个定理及整篇文章中， 可取为0，并且通常规定其用于当时的积分中。

在原来Hardy不等式中当和的情形下，若被取为[1,2]区间上的特征函数，同时在[0,1]上的取值为1，其他地方取时，这个常数结果是最可行的。

尽管所引用的作者没有明确说明，但定理1也具有以下对偶性：

定理2. 若，存在一个有限值，使得

（1.4）

成立，当且仅当

而且当是使（1.4）成立的最小的常数时，那么。

本文包含了四个关于加权Hardy不等式的定理的证明。首先在第二小节中给出了定理1的一个新的更简单的证明，并也给出了定理2的证明。在第三小节中给出了另一个关于（1.2）的充分必要条件并证明了有限值的成立。得到的结论如下：

定理3.若，对（1.2）中存在一个有限值（被替代时）是成立，当且仅当存在函数，使得，，其中在满足（1.2）式和在满足（1.2）式。，分别对应于适当的值。当是（1.2）中最小的常数时，则，且在和中选择一个函数使得其满足.

定理3是有意义的，因为它表明Hardy不等式的最强加权形式可用文献[2]，p.485中随测度变化的插值相关的定理证明得到。它还提出了一种解决n维问题的方法，不过其结果不太清楚。

最后，在第四小节中考虑了一般测度的问题，结论如下：

定理4.若都是Borel测度，并且，存在一个有限值，使得

（1.5）

成立，当且仅当

其中表示的绝对连续的部分。另外，若是使（1.5）式成立的最小的常数，那么当时，；时，。

定理4中不包含的情况，因为这种情况很难去说明，证明也很繁琐；在对中几乎所有的，是有限的且的条件下，对所有的最小上界使得成立。

2.定理1和定理2的证明。定理1充分证明了关于和之间特定的不等式。这个新的证明证得成立。在这里的证明是标准的；为了完整性，它被包含作为定理2和4的相应部分的证明的模版。

为了证明当时，，它将验证

（2.1）

成立。为了完成证明，令。通过Holder不等式，（2.1）的左边的次幂是以

为界的。假设（2.1）的右边是有限的，即使在一正测度集上的值是0或，简单的特殊参数也可证明其成立。利用Fubini定理证明了它等于这个式子

（2.2）

现在通过运算内部积分

（2.3）

很显然，它等于

再通过定义的，它是以

（2.4）

为上界的。然后通过运算外部积分得等式

（2.5）

再通过定义的，它是以

（2.6）

为界的。

现在，（2.2）中用（2.6）是（2.3）的上界的条件，验证了（2.2）是以（2.1）式右边的次幂为上界，这就完成了当时（2.1）的证明。

当时，通过验证不等式

（2.7）

来证明的事实。

当时，（2.7）只需通过交换不等式左侧的积分次序即可。当时，

成立，并且（2.7）也要交换不等式左侧的积分次序。

为了证明，发现若是一个非负的数，缩小（1.2）中积分区间，当时

（2.8）

成立。它充分验证了

（2.9）

成立。当且，（2.9）也同（2.8）取。当且，（2.9）同（2.8），令为，（）的特征函数。当时，（2.9）成立。当 时，则存在一个使得，那么，当，（2.8）中的使得成立；当，（2.9）显然是成立的。

为了证明定理2，首先假设在上。令是的函数。利用Fubini定理，有

（2.10）

等于

由Holder不等式知，它以

为上界的。再由定理1知，它以

为界，Holder不等式的逆向证明了。简单的限制性论证也考虑了其在一正测度集上和为或的情况。证明最容易的方法是通过模仿定理1相应部分的证明来完成。

3.定理3的证明。若可以写为指定形式，则由文献[2].p.485知，可以用随测度变化的插值来证明（1.2）成立并且。为了证明定理的剩余部分，假设满足被代替的（1.2）并且，， 和。它是充分利用定理1去证明当时，满足（1.3），当的满足（1.3），并且根据来估计的结果。

为了验证和满足（1.3），由

（3.1）

通过积分运算，验证了（3.1）式的右边是以

为上界的。再由定理1，验证了上式以

为上界的，故。因随的增加而减小，当，为常数时，这样和就证明了（1.3）是成立的。

当，为常数时，一个带有的和类似的不等式组证明（1.3）是成立的。再次利用定理1，当和中，有最小的常数时，（1.2）是成立的，且当和中，有最小的常数时，（1.2）也是成立的。结合这两个不等式证明了。

4.定理4的证明。为了证明定理4，首先有（1.5）是等价于不等式

（4.1）

因为在的奇异部分的情况下，改变的值不影响（1.4）的左侧，并且不等式对于修改后的函数仍然成立。

其次，的证明可以用与定理1相同的方法进行，但会有一个困难出现。从（2.4）到（2.5）的相似部分都需要如下不等式

但是这个不等式的证明不是特别简单。

因此，为了证明，更容易进行如下操作：令是单调递减的函数序列，使得，其中在上是绝对连续的。几乎处处成立。现在当

（4.2）

若，这关于Riemann-Stieltjies积分是显而易见的事实，并且其他情况是容易从该积分中得到的。由单调收敛定理，（4.2）的右边等于

（4.3）

通过推导通常便会得到（4.2），又由于（4.3）等于

（4.4）

在的条件下和的定义验证了

因此，定理1验证了（4.4）是以

（4.5）

为上界的。所以，（4.5）是（4.2）的左边的上确界；这就完成了的证明。

为了证明，在（4.1）中缩小其积分区间，证明当

（4.6）

它的证明部分是与定理1中取代，同时取代的证明恰好相同。

参考文献

[1]M. Artola, untitled and unpublished manuscript.

[2]E. Stein, Interpolation of linear operators, Trans. Amer. Math. Soc. 83(1956), pp. 482-92.

[3]G. Talenti, Osservazioni sopra una classe di disuguaglianze, Rend. Sem. Mate Fis. Milano 39 (1969), pp. 171-185.

[4]G. Tomaselli, A class of inequalities, Boll. Un. Mat. Ital. 21 (1969), pp. 622-631.

[5]A. Zygmund, Trigonometric series, Vol. I, 2^nd rev. ed. New York 1959.

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