本科毕业设计（论文）

外文翻译

微分方程、动力系统与混沌导论

作者：Morris W.Hirch Stephen Smale Robert L.Devaney

国籍：美国 美国 美国

出处：爱思唯尔学术出版社

中文译文：（小四，宋体）

第一章 一阶方程

本章的目的是发展一些基本但重要的一阶微分方程的例子。这些例子说明了一些其基本思想在常微分方程理论中是最简单的可能的设置。我们预计本章的前几个例子大家都很熟悉已修过微分方程入门课程的读者。之后的例子，如收获的逻辑模型，包括给出读者对某些主题(分支、周期解和庞加莱映射)，我们将在本书中经常提到。在后面的章节中，我们对这些问题的处理将更加系统化。

1.1最简单的例子

所有微积分学生都熟悉的微分方程

是最简单的微分方程。它也是最重要的。首先，这个方程意味着什么?这里是一个未知的实值函数对于实变量,是它的导数(我们也会用或者作为导数。也是一个参数;对于的每一个值，我们有一个不同的微分方程。这个方程告诉我们对于的每一个值都拥有下列关系

是成立的。

这个方程的解是从微积分中得到的:如果k是任何实数，那么函数是一个解，因为

此外，没有其他解决办法。为了证明这一点，令为任意解，并计算的导数:

因此是常数，所以。这证明了我们的推断。因此，我们找到了这个微分方程的所有可能解。我们将微分方程所有解的集合称为方程的通解。

如果的值在单点处确定，那么常数出现在这个解中是完全确定的。假设一个函数满足微分方程，也需要满足。然后我们必须有 = ，所以。因此我们决定。因此，这个方程有一个唯一解满足指定的初始条件。为了简单起见，我们通常取;那么。这里不缺乏一般性在取的时候，因为如果是一个的解，则函数是的一个解。

用初值问题的形式重申这一点是很常见的:

初值问题的解不仅要解微分方程，而且它也必须规定在处取得初始值。注意，当时，这个微分方程有一个特解。这是常数解。像这样的常数解叫做方程的一个平衡解或平衡点。平衡解通常是微分方程最重要的解之一。方程中的常数可以看作是一个参数。如果变了，方程也变了，解也变了。我们可不可以定性的描述解改变的方式？的符号在这里很重要:

1.如果，在时为，时为;

2.如果, =常数;

3.如果,。

解的定性行为生动地说明了解的简述曲线图，如图1.1所示。注意，解的行为，当是正的和负的时候是不同的。当，所有非零解随着的增加，有远离平衡点的趋势，而当时，解则趋向于平衡点。预示我们说当附近的解有远离平衡点的趋势时，平衡点是一个源头区。当附近的解都趋向于平衡点时，平衡点是一个汇聚地。

我们也可以通过画出它们的相位线图像来描述解的特征。因为解是时间的函数，我们可以把看成是一个沿着实线移动的点。在平衡点上，这个移动的点保持静止(如图所示)

图1.1的解的曲线图像及相位线。每一个曲线表示一个特解。

图1.2的解的曲线图像和相位线。

而其余的解沿轴向上或向下移动，由图1.1中的箭头指示的那样。

如果时，方程在某种意义上是稳定的。更准确地说,如果被另一个具有与相同的符号的常数所替代，那么解的定性行为不变。但如果，的一个细微的改变将会导致解的行为发生根本变化。因此我们说在单参数方程组中，在处有一个分支。

1.2 Logistic人口模型

上面的微分方程可以被认为是一个简单的人口增长模型，当。测量在一定时间内的某些物种的总体数量。这个假设导致了微分方程是人口增长率。(写作,) 直接与人口规模成正比。当然，这是一个天真的假设忽略了控制实际人口增长的许多情况，例如，包括实际种群总体数量不能随着界限增加。考虑到这一限制，我们可以关于人口模型的假设做以下进一步说明:

1.如果人口规模小，增长率几乎是成正比的根据人口的大小;

2.但是如果人口增长太多，增长率就会变成负数。

满足这些假设的一个微分方程是logistic人口增长模型。这个微分方程是

这里和是正的参数:当x较小时，给出了人口增长率。然而代表一种“理想”的种群或承载力。注意，如果x较小，微分方程本质上就是 [因为]，但是如果，则。因此这个简单方程满足上述假设。我们应该在这里加上许多其他的符合这些假设的微分方程;我们的选择也许是最简单的。

没有一般性的损失，我们将假设。也就是说，我们会的选择单位计量，使承载力正好为1单位人口，因此，表示在时刻的理想种群的一小部分。

因此，logistic方程简化为

这是一个一阶的、独立的非线性微分方程，因为方程中只出现了的一阶导数。它是独立的，因为方程的右边只依赖于不依赖于时间.它是非线性的，因为是的非线性函数。前面的例子，，是一个一阶、独立的线性微分方程。

这个logisitc微分方程的解是容易解出的，通过已经证明好的微积分中的分割与积分的方法

拆解分式的方法允许我们把左边的积分改写成

两边积分，然后解出x的收益率

其中K是由积分得到的任意常数。评估这在t = 0处的表达式，并解出K

利用这个，我们可以把这个解改写成

这个解，对任意初始的总体都成立。当时，我们有一个平衡解，。同样的，也是一个平衡解。

这样我们就有了logistic微分方程解的“存在性”。我们不能保证这些都是这个方程的所有解在这个阶段；在讨论第7章微分方程问题的存在性与唯一性时，我们将回到这个问题上来。

图1.3 的坡度场、解的曲线图、相位线

为了对解的行为有一个定性的感觉，我们画出了这个方程的斜率场。右边的微分方程确定了任意解在任意时刻的图像的斜率，因此我们可以在平面上绘制小的斜率线，如图1.3所示，在处的斜率线由总量给出，因此我们的解必须用每一条切线在切线场的图来表示。从这些图表,我们立即看到，与我们的假设一致，所有的的解都趋向于一个理想的总体。尽管这些解在人口模型的上下文中是无关的，但对于，解趋向于负无穷。

注意，我们还可以从函数图像中读取这个函数的解析式.如图1.4所示，穿过轴上的和这两个点，这两个点代表了均衡点。当时，我们有。因此，当时，斜率在任意处为正，解必须在这个区域增加。当或时，我们有所以解必须减小，正如我们在这两个解的图像和相位线如图1.3所示。

我们可以读出是一个源头，是一个汇聚和的图像幼类似的形式。在0附近，我们有，如果，那么斜率为正，解增大，但如果，那么，那么斜率是负的，解减少。因此，附近的解远离0和0是一个源头。类似地，1是一个汇聚。

我们也可以通过分析来确定这个信息。我们有，所以 和。因为，当超过0并不断增加时，斜率就会增大。也就是说，斜率在以下为负，在以上为正。因此，解必须趋向于远离。以同样的方式，使得解趋向于，使这个平衡点下沉。在随后的章节我们会遇到很多这样的“导数测试”，可以预测在平衡附近的定性的行为。

图1.4, 在函数在时的函数图像

图1.5的斜率场、解的曲线图和相位线。

为了进一步说明这些定性的概念，下面考虑微分方程

在处有三个平衡点，因为，我们有 ，所以平衡点0是已知的。也可以知道，所以处的平衡点均为下沉点。在这些平衡店之间，这个方程的斜率场的符号是非零的。从这个信息我们可以立即显示相位线，如图1.5所示。

1.3蚁群的收获和分支

让我们重新修改这个逻辑模型用于描述总体的收获。假设总体符合在参数处的逻辑假设，但也以恒定的速率h收获。微分方程就变成了

图1.6 函数的曲线图

在这里是一个新的参数，。

而不是明确地解出这个方程（解这个方程的过程，我们将会在本章末尾的练习六可以看到），我们用函数的图像去解读出解的定性的行为。

在图1.6中显示三种不同情况下的曲线图:和 。当时，很容易看出有两个根，一个根是当时，当时为无根，如图所示。作为一个结果，微分方程有两个平衡点和，当时，。验证也很容易，所以是源头，又因为所以是汇聚点。

当h经过时，我们遇到了另一个分叉的例子。当h不断增加并超过1/4时，两个平衡点和结合。当时两个平衡点消失。此外，当时对于所有的。数学上，这意味着微分方程的所有解随着时间的增加减到负无穷。

在分支图上直观地记录下来。在这个图中在水平方向画出参数h。对每个h值，我们画出相应的相位线。这幅图中的曲线代表了每个h的值的平衡点。这给出了另一种观点，汇聚和源合并到一个单一的平衡点之后，当h超过1/4时消失(参见图1.7)。从生态学的角度来看，这种分歧相当于物种的灾难研究。如果收获率低于1/4，种群就会继续存在。

图1.7 的分支图

提供的初始总体足够大，但是当导致了一个人口的重大变化时，伴随着一个微小的收获率的变化。所以说，不管收获率如何，时，这个物种就会灭绝。

这一现象突出了检测分支的重要性微分方程族，一个我们会遇到很多次的步骤在后面的章节。我们还应该提到，尽管这个种群模型很简单，预测了收获率的微小变化会导致灾难性的人口变化已经被观察许多次了，在真实的地球环境中。

附外文原文

1.1 The Simplest Example

The differential equation familiar to all calculus students

dx

dt = ax

is the simplest differential equation. It is also one of the most important. First, what does it mean? Here x x(t ) is an unknown real-valued function

=

of a real variable t and dx/dt is its derivative (we will also use x→ or x→(t )

for the derivative). Also, a is a parameter; for each value of a we have a

1

2 Chapter 1 First-Order Equations

different differential equation. The equation tells us that for every value of t

the relationship

is true.

x→(t ) = ax(t )

The solutions of this equation are obtained from calculus: If k is any real number, then the function x(t ) = keat is a solution since

x→(t ) = akeat = ax(t ).

Moreover, there are no other solutions. To see this, let u(t ) be any solution and compute the derivative of u(t )eminus;at :

Therefore u(t )eminus;<e

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1.1 The Simplest Example

The differential equation familiar to all calculus students

dx

dt = ax

is the simplest differential equation. It is also one of the most important. First, what does it mean? Here x x(t ) is an unknown real-valued function

=

of a real variable t and dx/dt is its derivative (we will also use x→ or x→(t )

for the derivative). Also, a is a parameter; for each value of a we have a

1

2 Chapter 1 First-Order Equations

different differential equation. The equation tells us that for every value of t

the relationship

is true.

x→(t ) = ax(t )

The solutions of this equation are obtained from calculus: If k is any real number, then the function x(t ) = keat is a solution since

x→(t ) = akeat = ax(t ).

Moreover, there are no other solutions. To see this, let u(t ) be any solution and compute the derivative of u(t )eminus;at :

Therefore u(t )eminus;at is a constant k, so u(t ) keat . This proves our assertion. We have therefore found all possible solutions of this differential equation. We call the collection of all solutions of a differential equation the general solution of the equation.

=

The constant k appearing in this solution is completely determined if the value u0 of a solution at a single point t0 is specified. Suppose that a function x(t ) satisfying the differential equation is also required to satisfy x(t0) u0.

=

Then we must have keat0 =u0, so that k=u0eminus;at0 . Thus we have determined

k, and this equation therefore has a unique solution satisfying the specified initial condition x(t0) u0. For simplicity, we often taket0 0; then k u0. There is no loss of generality in taking t0 0, for if u(t ) is a solution with u(0) u0, then the function v(t ) u (t-t0) is a solution with v(t0) =u0.

= = minus;

=

= = =

It is common to restate this in the form of an initial value problem:

x→ = ax, x(0) = u0.

A solution x(t ) of an initial value problem must not only solve the differential equation, but it must also take on the prescribed initial value u0 at t 0.

=

=

Note that there is a special solution of this differential equation when k= 0. This is the constant solution x(t ) 0. A constant solution such as this is called an equilibrium solution or equilibrium point for the equation. Equilibria are often among the most important solutions of differential equations.

equiv;

The constant a in the equation x→ ax can be considered a parameter.

=

If a changes, the equation changes and so do the solutions. Can we describe

• 1. The Simplest Example 3

qualitatively the way the solutions change? The sign of a is crucial here:

1. If a gt; 0, limt →infin;keat equals infin; when k gt; 0, and equals minus;infin; when k lt; 0;
2. If a = 0, keat = constant;
3. If a lt; 0, limt →infin;keat = 0.

The qualitative behavior of solutions is vividly illustrated by sketching the graphs of solutions as in Figure 1.1. Note that the behavior of solutions is quite different when a is positive and negative. When a gt; 0, all nonzero solutions tend away from the equilibrium point at 0 as t increases, whereas when a lt; 0, solutions tend toward the equilibrium point. We say that the equilibrium point is a source when nearby solutions tend away from it. The equilibrium point is a sink when nearby solutions tend toward it.

We also describe solutions by drawing them on the phase line. Because the solution x(t ) is a function of time, we may view x(t ) as a particle moving along the real line. At the equilibrium point, the particle remains at rest (indicated

x

t

Figure 1.1 The solution graphs and phase line for x → = ax for a gt; 0. Each graph represents a particular solution.

x

t

Figure 1.2 The solution graphs and phase line for x → = ax for a lt; 0.

4 Chapter 1 First-Order Equations

by a solid dot), while any other solution moves up or down the x-axis, as indicated by the arrows in Figure 1.1.

The equation x→ ax is stable in a certain sense if ane; 0. More precisely,

= asymp;=

if a is replaced by another constant b whose sign is the same as a, then the qualitative behavior of the solutions does not change. But if a 0, the slightest change in a leads to a radical change in the behavior of solutions. We therefore say that we have a bifurcation at a = 0 in the one-parameter family of equations

=

x→ = ax.

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