泰勒公式及其应用开题报告

全文总字数：6264字

1. 研究目的与意义

对于一些比较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式函数是最为简单的一类函数，它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式函数经常被用于近似地表达其他函数，这种近似表达在数学上常称为逼近，英国数学家泰(Taylor．Brook，1685－1731)在这方面作出了不朽的贡献，其研究结果表明:具有直到n 1阶导数的函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的n次多项式近似表达，由此产生了泰勒公式，它是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上占有重要地位，在近似计算，极限计算，函数性质的研究等方面都有着重要的应用。

2. 国内外研究现状分析

泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分，1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，其中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时他是通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限得到的，之后柯西对无穷级数的收敛性给出了一个严格的证明。1755年欧拉把泰勒公式用于他的微分学时认识到了其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础。湖南科技学院数学系的唐仁献在文章《泰勒公式的新证明及其推广》中在推广了罗尔定理的基础上重新证明了泰勒公式；洛阳工业高等专科校计算机系王素芳、陶容、张永胜在所著的文章《泰勒公式在计算及证明中的应用》中研究了泰勒公式在极限运算、等式及不等式证明中的应用，解决了用其它方法较难解决的问题，于此类似的研究成果还有湖北师范学院数学系的蔡泽林、陈琴的《定积分不等式的几种典型证法》和潍坊高等专科学校的陈晓萌所著的《泰勒公式在不等式中的应用》等等。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：泰勒公式及其应用

主要有以下两个方面：

1：介绍泰勒公式及其余项定义

4. 研究创新点

本文在泰勒公式的定理及其用泰勒公式进行函数展开方法的基础上，归纳总结了泰勒公式在研究方程根的存在性和唯一性，求极限，确定无穷小的阶与表达式中的常数，证明不等式或等式，进行近似计算等问题中应用的方法和技巧