椭圆界面问题的有限差分方法比较开题报告

全文总字数：4049字

1. 研究目的与意义

现代科学技术与实际工程中的大量数学模型都是使用微分方程来描述的。可绝大多数微分方程，不能用解析形式来表示，有的即便能表示，也无法计算。特别是经常出现在气象、航天、海洋和水利等诸多流体力学问题中的微分方程，由于流体力学的不定常、非线性，再加上粘性、激波等复杂自然现象，求解极为困难。因此要掌握微分方程数值解的相关理论和相应的数值方法，对微分方程数值解法的研究是十分重要的。界面问题是一类应用很广的研究课题,已经发展了一些比较好的有限差分方法,本课题将在比较已有方法的基础上寻求一些创新.

2. 国内外研究现状分析

有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

3. 研究的基本内容与计划

1）查阅约15篇文献，综述现状。2015.1

2）用二阶差分格式来求解常系数一维和二维的二阶椭圆问题。2015.2

3)求解变系数的二阶椭圆问题。2015.3

4. 研究创新点

1、详细阐述椭圆界面问题的有限差分方法的理论基础以及在程序语言中的实现

2、原理、方法、算法分析相结合