用有限元方法求解Helmholtz方程开题报告

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1. 研究目的与意义

Helmholtz方程通常是描述声波的椭圆型偏微分方程，以德国物理学家Helmholtz的名字命名。Helmholtz方程也出现在涉及同时存在空间和时间依赖的偏微分方程的物理问题的研究中。因为它和波动方程的关系，Helmholtz方程出现在物理学中电磁辐射、地震学和声学研究这样的领域里的问题中。一般而言，我们无法用解析的方法求出方程的精确解。数学上可以用数值方法求出方程的解在一些离散点上的近似值。有限元方法是求解微分方程一种非常有效的数值方法。本课题将研究Helmholtz方程相应的变分原理及其有限元方程的建立和计算。最后通过数值算例验证算法的正确性和有效性。

2. 国内外研究现状分析

有限元方法(FiniteElementMethod,简写为FEM)是求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。在早期，有限元法是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。其发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944-1960)和后期(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。1943年，柯朗在《美国数学学会公报》(BulletinofTheAmericanMathematicalSociety)上发表了《平衡和振动问题的变分解法》(VariationalMethodsforTheSolutionofProblemsofEquilibriumAndVibration)一文，在其中柯朗提出了有限元法的核心思想。大约与柯朗同时，工程师阿格瑞斯在另一个领域独立地提出了有限元法。柯朗和阿格瑞斯各自在数学和工程学领域独立提出了有限元法，他们分别开创了有限元法的数学传统和工程学传统。有限元法被提出来以后，经过一段时间的沉寂期，在二十世纪五十年代和六十年代初有了很大的发展。1969年以来，一些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。1965年有限元这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善，用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：有限元方法求解及几个求解实例

1、详细了解有限元方法的基本概念以及应用范畴

2、详细给出有限元方法的理论知识和方法

4. 研究创新点

1、详细阐述有限元方法的理论基础以及在程序语言中的实现

2、原理、方法、算法分析相结合