初等几何变换及其在竞赛数学中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

自公元前3世纪古希腊数学家欧几里得(Euclid)的《几何原本》问世以来,平面几何就作为数学的一个分支而存在于世.由于平面几何有其鲜明的的直觉与严谨、精确、简明的语言,并且经常出现一些极具挑战性的问题,因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力,以极具魅力的姿态展现在我们面前.世界各国无不将平面几何作为培养本国公民的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的重要题材.由匈牙利于1894年首开先河的国内外各级数学竞赛活动更是将平面几何作为常规的竞赛内容,并且从1959年开始举办的每年一届(1980年因特殊原因中断)的国际中学生数学竞赛(通称国际数学奥林匹克)中,在同一届出现两道平面几何题的情况已是屡见不鲜. 但是,传统的平面几何都是采用公理化方法处理的,这种方法将平面图形视为静止的图形,其优点是便于掌握几何图形本身的内在规律.但用这种静止的观点研究平面几何的一个最大缺陷是:难以发现不同几何事实之间的联系.欲深刻揭示客观事物之间的联系,掌握运动的事物的空间形式最本质的东西在运动中始终保持不变的性质,仅用静止的观点是远远不够的,必须动静结合,用运动、变化的观点来研究客观事物的运动形式和变化规律.就平面几何而言,按照德国数学家克莱因(F.Klein)于1872年提出的观点,平面几何是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性质和不变量的科学.

几何变换作为一种现代数学思想方法,正是采用运动、变化的观点来研究平面几何的.面对一个平面几何问题,几何变换往往能有效地帮助我们顺利地实现由条件到结论的逻辑沟通.

2. 研究内容和预期目标

本文主要讨论初等几何几种变换，如合同变换、对称变换等，这些初等几何变换在证明几何题，求轨迹问题、解作图问题等几个方面都有重要的用途。本文首先介绍初等几何变换的相关定义和定理，然后给出必要的背景证明。在写作过程中，要求充分理解初等几何变换的广泛应用。要求作者在仔细认真查阅参考资料，在大量阅读相关文献的基础上总结初等几何变换的相关基础理论以及在中学数学中的相关运用。

3. 研究的方法与步骤

（1）、拟采用的研究方法：

文献研究法即根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。

定性分析法就是对研究对象进行质的方面的分析。具体地说是运用归纳和演绎、分析与综合以及抽象与概括等方法，对获得的各种材料进行思维加工，从而能由此及彼、由表及里，揭示内在规律。

4. 参考文献

1朱德祥，朱维宗.初等几何研究（第二版）[m].北京：高等教育出版社，2003.

2费林北，柴夏芬.平面几何解题指导[m].北京：高等教育出版社，1990.

3李长明，周焕山.初等数学研究[m].北京：高等教育出版社，1992.

5. 计划与进度安排

1、2022年3月2日~2022年3月6日，根据指导老师提供的任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

2、2022年3月2日~2022年3月13日接受毕业论文任务书，了解所选论文的状况与要求；

3、2022年3月9日~2022年3月20日，参考相关文献，完成开题报告，由指导老师修改和审定；