对称性在积分计算中的应用开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景

对称的现象普遍存在于我们的生活中，小到一个粒子，大到整个宇宙，而在数学中对称现象也以一种及其美妙且普遍的姿态存在着。从初等数学到高等数学我们不断地接触这对称在各方各面的存在，它给我们提供了很多意想不到的思路，值得我们对它进行深刻的挖掘研究。

积分的思想最早可以追溯到欧洲古希腊时期阿基米德《抛物线求积法》和中国三国时期刘徽作的《九章算术》所提出的“割圆术”。1615年开普勒在《新空间几何》中给出了92个求面积和体积的方法。1635年卡伐列利出版《不可分量几何学》已达到了积分学的边缘。而微积分的真正创立是在17世纪下半叶，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹在总结前人经验理论的基础上各自独立研究，洞悉了微分与积分之间的联系，牛顿于1671年撰写了《流数法与无穷级数》，莱布尼茨于1684年发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，创立了微积分。法国数学家柯西在他的分析教程》(1821)、《无穷小计算教程》(1823)以及《微分计算教程》(1829)中以分析的严格化为目标,对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义。德国数学家魏尔斯特拉斯将分析做到“算术化”而后广泛采用了他的“ε-δ”的定义。

2. 研究内容和预期目标

主要内容

对巧妙地利用对称性，可以给积分的计算带来方面，使得很多复杂问题简化。本课题希望在充分参考国内外相关文献的基础上，对积分的计算方法进行深入研究，并且融入对称，充分分析研究对称在不定积分，定积分，重积分，曲线积分和曲面积分计算中的应用。就此各类积分中利用对称性化简的技巧进行综述。

3. 研究的方法与步骤

研究方法

文献资料法、经验总结法、研究法、个案法

4. 参考文献

[1]. 华东师范大学数学系.数学分析[m].高等教育出版社，2001.

[2].清华大学数学系.微积分[m].清华大学出版社，2015.

[3].裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[m].高等教育出版社，2006.

5. 计划与进度安排

1、2022年3月5日~2022年3月11日，指导老师下达毕业论文任务书，向学生布置论文工作要求；学生根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

2、3月5日 ~3月18日，完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；

3、3月19日 ~ 6月5日，论文写作阶段。在这期间，每周应向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况；其中