实函数与复函数的级数理论综述开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景

级数是指将给定数列{}的各项，，……，，……依次用“ ”连接起来的表达式，其中称为级数的通项。级数是研究函数的一个重要工具，在理论和实际应用中都处于重要地位，我们可借助级数表示很多常用的非初等函数，也可利用级数来研究函数，进行近似计算等。

无穷级数在希腊数学中出现过，芝诺（zeno of elea，约公元前490-约公元前425）的二分法涉及到把1分解成无穷级数。亚里士多德（aristotle）也认为这种公比小于1的几何级数有和。阿基米德（archimedes，公元前287-公元前212）在他的《抛物线图形求积法》一书中，在求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级数，并且求出了它的和。中国古代的《庄子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中也含有极限的思想，用数学表达形式表达出来也是无穷级数。但无穷级数理论的真正发端是从神学家之中开始的，到了中世纪，奥雷姆（oresme）明确指出，几何级数当公比大于等于1时，和为无穷，发散；当公比小于1时收敛。他还已会求无穷级数的和，并求出若干无穷级数的和。到了17-18世纪，韦达（vieta）给出了一个无穷级数的求和公式：。门戈里1650年研究图形数的倒数的求和问题，并第二次证明了调和级数的发散性问题。莱布尼茨（leibniz）解决了惠更斯提出的问题，还得出…，但仍无法得出的和的结果。雅各布证得趋于某一小于2的有限级数，其证明方法其实就是今天的“比较判别法”。后伯努利兄弟又一次证明了调和级数是发散的，并且分别给出了两个不同的证明方法。欧拉最终证明了。但直到19世纪初，高斯才对级数的收敛与发散加以严密区别，他于1812年引进了超几何级数，并指出其在时收敛，时发散。1821年柯西在起《分析教程》中首次给出级数收敛的精确定义，并给出柯西收敛准则，随后又出现了一系列的收敛判别法：比较判别法、达朗贝尔判别法、阿拉贝判别法、高斯判别法、柯西积分判别法等等。至此，无穷级数理论才算比较成熟，其理论体系才算基本完整。

2. 研究内容和预期目标

主要内容

介绍级数的相关历史背景；讨论实级数和复级数的历史背景，概念、性质及敛散性的判定及函数的级数展开等相关基础理论和在解决问题方面的应用。

3. 研究的方法与步骤

研究方法

调查法、文献研究法、经验总结法

4. 参考文献

[1]. 钟玉泉. 复变函数论（第四版）[m]. 高等教育出版社,2013.

[2] 余家荣. 复变函数（第三版）[m]. 高等教育出版社,2000.

[3] 华东师范大学数学系. 数学分析[m]. 高等教育出版社,2001.

5. 计划与进度安排

1.2022年3月5日-3月18日，完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；

2.2022年3月19日-6月5日，论文写作阶段。在这期间，每周应向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况；其中

（1）2022年4月23日-5月6日，毕业论文中期检查，学生重点向指导老师汇报论文进展情况和遇到的困难；