函数凹凸性及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

函数曲线的弯曲方向是函数图形的一个重要属性。研究函数的凹凸性对更精确的描述函数性质、判断函数的极值，研究函数图像以及推论不等式等方面都有广泛的应用。比如在不等式的研究中，凹凸函数发挥着无可替代的作用，其中詹森不等式起到了举足轻重的作用。由于凹凸函数有着一些独特的性质，可以解决一些难题，将复杂问题简单化，因此研究函数的凹凸性是十分必要的。

不仅如此，函数的凹凸性有很强的应用背景。如在机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学）中具有重要的运用。在经济方面例如最优化原理，运筹与控制理论，模具设计策略则是对函数凹凸性应用的又一种体现。函数凹凸性的研究既具有理论价值又有应用背景，这一选题是有意义的。

2. 研究内容和预期目标

1.主要研究内容：（由于函数-f是区间上的凸函数，则f是区间上的凹函数，以后研究函数的凹凸性，只需研究函数的凸性）本篇论文首先对凹凸函数的概念（定义）进行介绍，接下来介绍凹凸函数的性质，接着介绍凹凸函数的判定，最后通过延伸研究凹凸函数的应用。主要集中在詹森不等式的应用，在研究初等数学中不等式的应用，教学实践中的应用（通过凹凸函数的性质采用简单的方法解决高中难题），以及在经济学中的研究。

a.凹凸函数的定义：通过华东师范大学编写的数学分析的两个具体的例子可以简单地了解凹函数与凸函数的图像。任意两点间的弧段在两点连线的下方，称为凸函数，任意两点间的弧段在两点连线的上方，称为凹函数。通过李成章、黄玉民编写的数学分析给出凸函数的基本定义及严格凸函数的定义。

b.凹凸函数的性质：

3. 研究的方法与步骤

这篇论文主要以查找资料为主，以现有的知识水平对前人研究论述进行整理，整理出凹凸函数的性质与应用，所以采用的方法是文献综述法，观察法，描述性研究法和数学方法等来分析凹凸函数的。难点则是首先从大量论文材料中整理出于凹凸函数相关的知识点，其次寻找合适的凹凸函数来证明不等式并且有些例子不能重复出现，最重要的是不能一味的参考，要有自己的风格。

4. 参考文献

1.崔尚斌.数学分析教程[m].科学出版社，2013.

2.黄玉民、李成章.数学分析[m].科学出版社，2007.

3.华东师范大学.数学分析[m].北京：高等教育出版社，2001.

5. 计划与进度安排

1、2022年3月1日-3月13日（2-3周）完成开题报告。

2、2022年3月14日-5月20日（4-13周）毕业论文写作，按开题报告撰写论文。

3、2022年4月18日-4月29日（9-10周）中期检查，汇报课题进展情况，回答教师提问。