勒贝格控制收敛定理及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

在数学分析和测度论中，勒贝格控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件，很好地解决了实变函数中逐项积分的问题。本次课题在已有的学习和文献资料基础上，阐述勒贝格积分与黎曼积分的关系，进而体现勒贝格积分的优越性。

通过比较分析，我们可以看出对于不同的问题要有不一样的解决方法，善于用定理去简化复杂问题，“对症下药”，形成良好的解题思路。此次论文设计还可以培养独立思考的能力，养成动手查阅资料的好习惯，也为以后的学习和工作打下基础。

2. 研究内容和预期目标

1.简单介绍一下勒贝格控制收敛收敛定理的定义和基本性质；

2.阐述勒贝格积分与黎曼积分的关系；

3.介绍定理的应用：如利用定理证明列维定理、数列收敛、不等式，判断函数连续，求极限等。

3. 国内外研究现状

目前通用的实变函数与泛函分析教材（如东南大学，华东师范大学，伤害交通大学等），主要在在讨论勒贝格控制收敛定理的同时引进列维定理与法都引理，并涉及它们之间的相互证明， 其中牵扯到勒贝格积分，而勒贝格积分相对于黎曼积分具有它的优越性，适用范围更加的广泛。勒贝格控制收敛定理在数学分析及其实变函数中有很大用处， 能够利用这个定理证明一些其它的定理和结论， 还可以利用该定理求一些极限等等。

4. 计划与进度安排

1.查找文献，阅读图书馆书籍与网络上的相关文献，并进行摘录和整理，全面了解勒贝格控制收敛定理。

2.求教导师，通过与导师交流解决自己遇到的问题，不断地完善与修改。

3.理论逻辑分析，结合上述的基本工作，完成完整的论文。

5. 参考文献

[1]孙清华， 孙昊， 实变函数内容﹑ 方法与技巧[m]． 武汉： 华中科技大学出版社，2004， 9．

[2]张喜堂． 实变函数论的典型问题与方法[m]． 武汉： 华中科技大学出版社， 2000，5．

[3]周民强， 实变函数解题指南[m]． 北京： 北京大学出版社， 2007， 8．