轴承处船体变形激励下的推进轴系振动特性分析外文翻译资料

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梁的振动

9.1引言

9.2动力控制方程

9.2.1固体力学初步

9.2.2势能、动能和功

9.2.3汉密尔顿原理扩展和运动方程的推导

9.2.4梁的一般方程

9.3自由振荡：固有频率和振型

9.3.1简介

9.3.2固有频率、振型和模态的正交性

9.3.3边界条件的影响

9.3.4刚度和内部惯性元件的影响

9.3.5同时具有内部质量、弹簧和单自由度系统的梁

9.3.6轴向力和弹性地基的影响

9.3.7锥形梁

9.4强迫振荡

9.5总结

9.1 引言

在第3到第8章中，已经解决了具有有限自由度的振动系统。如同在2.5模块中提到的，像梁这种具有分布式惯性和刚度的元素通常被用来构造各种物理系统，例如2.5.4模块中的滑雪板、2.5.5模块中的工件-工具系统以及2.5.2模块中的MEMS加速计。正如前面提到的，分布式参数系统，或称为空间连续系统，具有无限个自由度。除了梁以外，可以用在振动模型中的分布式系统还包括：线、连线、轴向振动的轴、扭转振动的轴、薄膜、圆盘以及壳状物。除了前面提到的三个系统以外，描述其他所有的系统都需要一个空间坐标系。这些有限自由度振动系统的运动控制方程是常微分方程，这些方程是一个初始值问题的形式。相比之下，分布式参数系统的运动方程的形式是偏微分方程，其边界条件和初始条件以及振动响应解决方案的确定需要使用额外的数学技术。但是，像固有频率、模态、模态的正交性以及上文中使用的有限自由度系统正常模式的解决方案同样适用于无限自由度系统。无限自由度系统具有无限数量的自然频率，在这些频率中每一个模态都与一种自由振荡状态相关联。

在本章中，梁的自由和受迫振动被认为是在长度方向。杆、轴和弦的振荡会在在附录G中给出。如2.5章所示的不同例子，许多物理系统的振动模型需要使用梁单元。除了这些例子，梁单元用于模拟物理系统的其他例子包括旋转机械模型，船体，飞机机翼，车辆和铁路桥梁。涡轮叶片和直升机旋翼叶片采用梁单元建模。由于梁的振动行为是这些不同的系统的重点所在，本章的重点将是梁的振动。

在上面提到的每一个应用中，以及许多其他的应用中，梁都会工作在动态激励下。根据这些力的频率，力有可能激发其固有频率的一个或多个。一个设计工程师的频繁要求之一是创建一个弹性结构，响应最小的强加的动态负载，使大位移振幅、高应力和结构疲劳最小化，磨损和辐射噪声降低。

利用弹性梁力学和汉密尔顿原理可以得到梁的运动控制方程。处理非受迫性和无阻尼梁的自由振荡，研究影响固有频率和振型的各种因素，研究包括惯性元件和弹簧连接在中间位置和梁的几何变化的处理。在一个灵活的结构支持的拥有一个或两个自由度的系统指出了在前面的章节中所使用的模型的局限性。我们将使用正常模式的方法，以确定梁的强迫响应。

在本章中，我们将展示如何：

确定宽边界条件下等截面伯努利-欧拉梁的固有频率和振型。

确定给定的质量和刚度分布的模态形状是正交的条件。

确定附加局部刚度和惯性元的伯努利-欧拉梁固有频率和振型。

确定变截面伯努利-欧拉梁的固有频率和振型。

确定伯努利-欧拉梁的初始位移，初始速度和外部强迫的响应。

9.2 运动控制方程

在这一节中，我们将说明如何得到进行小幅度横向振动的弹性梁任意负载条件和边界条件的控制方程。变形结构中的梁单元如图9.1所示。x轴沿梁的跨度，y轴和z轴沿轴的横向方向。级端弯矩作用沿该方向显示，并假定梁的位移限制在平面。位移表示沿梁的位置的横向位移。运动控制方程的推导是基于汉密尔顿原理扩展。要使用这个原理，首先需要确定系统的势能、系统的动能以及在系统上所做的功。为了确定系统的动能，每个具有长度的元素被视为一个刚体。用于确定系统的势能，应力-应变关系中使用梁材料。为此，固体力学初步在第9.2.1节提出，然后表达为动能、势能和功在第9.2.2节。

9.2.1 固体力学初步

在图9.1中，可以看出，朝向曲率中心的梁的面将被压缩，而相反的面将被拉长；也就是，截面AA会延长，而截面BB将缩短。线路途经的梁截面的质心为中心线。在这里，沿着中心线的纤维被假定为经历零轴向应变。因此，这个中心线是中性轴。梁的变形是由伯努利-欧拉梁理论描述，适用于其长度的回转半径比大于10的薄的弹性梁。按照这一理论，它假定中和轴保持不变，梁的正常截面中性轴保持平面垂直于变形的中心线，而横向法线如BA沿法线方向经过零应变。对于一个纤维位于从中性轴的距离z，如图9.1所示，沿梁的长度经历的应变：

其中，R是曲率半径，是光纤沿中性轴的长度，是位于距中性轴的距离为z的纤维长度，我们按照几何学来写：

按照胡克定律，作用在纤维的轴向应力：

其中E为材料的杨氏模量。按照图9所示的例子，一个正位移w是在单位向量K的方向上。因此，材料在中性轴的正向位移是张力，材料在中性轴以下反向位移，是指压缩。

在梁的内部部分，绕Y轴平衡的时刻：

y₁和y₂是对应于沿y方向整合空间的限制，我们用公式（9.3），并且

I代表通过质心的梁截面绕Y轴的惯性矩。一般来说，公式（9.5）在方程的双积分的限制不必是常数，也就是,,,。在这种情况下，该区域的转动惯量随长度变化，因此一般情况下，。曲率，假定凹曲率向下是正的，则：

如果假定斜率很小,即，其中是中性轴在x位置的斜率，则公式（9.6）可简化为：

将公式（9.7）代入公式（9.1）和（9.4），我们得到：

因此，应变和弯矩的大小与梁位移的二阶导数成正比。弯矩与梁位移二阶空间导数成线性关系的表达式是伯努利-欧拉定律，这是线性弹性薄板理论的基础。

方程（9.8）可以通过只考虑梁的端部的影响得到。此外，如果有一个横向载荷f（x，t），梁内会出现垂直剪切力抵制这种力量。在图9.2中，如果关于点O的矩的总和是沿j方向，如果忽略梁单元的转动惯量，其结果是:

这会导致：

如果，则剪力增量，则会有：

通过公式（9.8），可以得到：

因此，剪切力等于沿x轴的弯矩的变化量。因此，如果M（x）是恒定的沿x轴，V＝0。

9.2.2 势能、动能和功

我们构建系统的势能、动能以及外力所做的功在第9.2.4节进一步利用。

势能

变形梁的势能有不同的来源，其中包括应变能的贡献。对于由于弯曲而承受轴向应变的梁，如果应变能是系统势能的唯一贡献，则梁的势能被写为：

此处应用了公式（9.1）（9.3）和（9.7）。

动能

假设梁的平移动能是系统的动能唯一的来源，可以写为：

其中为梁的横截面积，为梁材料的质量密度。如果从梁的转动惯量也考虑在内，相应的转动动能增加了一项，将被列入公式（9.11），由公式（1.23）描述。

功

由每单位长度所施加的横向负载所做的功：

如果重力是作用在梁上的唯一的分布载荷,则：

如果梁也在轴向拉力的作用下，如图9.3所示，中心线的长度不再保持不变，而是扩展到新长度。如果我们假设的变形是小的幅度，不影响加载，则梁单元长度的变化为：

因此，轴向力的外功:

由于拉力作用于梁的横向位移w，做的功有负号。如果是轴向压紧力,将用来代替。

最后，我们考虑的线性弹性地基上的梁，如图9.3所示。梁的横向位移在地基上产生一个力，其中是每单位长度的弹簧常数。这个弹簧力与梁的运动相反。由弹性基础完成的外部功是

在这里，我们再次引入了一个负号来解释基础力作用下的反向梁位移。

拉格朗日系统

通过构造拉格朗日系统，我们用表达式构造函数

其中

我们已经介绍了符号:

在公式（9.18）中，分别表示梁的速度、斜率、角速度和曲率。在公式（9.17）中，为保守力所做的功，它包括外部加载所做的功，以及轴向载荷所做的功。

通过公式（9.10）（9.11）（9.12a）（9.14）（9.15）分别计算出空间积分。我们可以从公式（9.16）中得出：

在公式（9.19）中没有了含的项，是由于忽略了梁截面的转动惯量。

在的梁的边界上，可以有离散的外部元件，有助于系统的总动能和总势能，例如图（9.4）所示。在左边界（），有刚度为的线性平移弹簧和刚度为的线性扭转弹簧。同样的，在右边界（），有刚度为的线性平移弹簧和刚度为的线性扭转弹簧。还有一个质量为的惯性元件和转动惯量在左边界，以及一个质量为的惯性元件和转动惯量在右边界。还有阻尼系数为的线性粘滞阻尼器分别在。在图9.4中，由左边界的惯性元件的动能和左边界的刚度元素的势能之间的差异，我们可以得到离散拉格朗日函数：

下标0已被用来表示在处数量被评估，如表示在边界处的位移，表示在边界处的斜率，等等。刚体重心的平移速度表示为，扭转弹簧的角位移表示为，刚体的角速度表示为。同样的，右边界处的离散拉格朗日方程可表示为：

下标L已被用来表示在处数量被评估，如表示在边界处的位移，表示在边界处的斜率，等等。刚体重心的平移速度表示为，扭转弹簧的角位移表示为，刚体的角速度表示为。

回顾拉格朗日是系统动能和系统势能之间的差异，对于梁系统可表示为：

其中由公式（9.19）给出，由公式（9.20）给出，由公式（9.21）给出。方程（9.22a）的最后两项是利用三角函数的空间积分，第6章曾介绍到。由此可以得到：

其中。

在公式（9.22b）和（9.23）中，函数是用来表示从离散元件的空间位置和的贡献。具体而言，当时，假设一个0值，当时，假设一个0值。这些函数的使用使我们能够包括在涉及整个域的表达式中的离散的贡献。

下面介绍在边界的阻尼元件离散非保守力的边界条件：

9.2.3汉密尔顿原理扩展和运动方程的推导

为了导出梁的运动控制方程，我们采用扩展汉密尔顿原理。一般的方法适用于一维连续空间是首次提出，梁方程是该公式的一个应用得到的。首先，保守系统--由于阻尼和其他耗散源而不损失的系统，以及非保守系统都被考虑在内。

保守系统

完整和保守系统汉密尔顿原理扩展的陈述如下。在两个时刻之间的所有可能的运动路径中，由系统所采取的实际路径对应于一个固定值的积分，即：

式中为变异算子，且：

在公式（9.26）中，我们用到了公式（9.22）的拉格朗日系统。

公式（9.26）右边第一项表示对于系统动能、系统势能、在连续梁内部所做的功的贡献。右边第二项和第三项分别表示从边界附加的离散元素的贡献。在边界的阻尼元件不考虑在保守的情况下，如图9.4所示。

利用变分法，公式（9.26）满足在内部和边界条件时有固定值。

连续内部

边界

或

和

或

边界

或

和

或

方程（9.27）到（9.31）表示受保守力作用的梁运动方程的一般形式。

非保守系统

在非保守系统中，作用在连续系统内部每单位长度的非保守力，以及分别作用在边界的非保守力、所做的功也需要计算。为此，公式（9.27）到公式（9.31）修改如下：

连续内部

方程（9.32）被称为空间一维连续系统的拉格朗日微分运动方程。

边界

或

和

或

边界

或

和

或

9.2.4梁的一般方程

我们现在推导出在9.2.1章节提到的梁的控制方程，结合图9.5。该系统包括一个外部横向荷载，其一般被认为是由一个保守的负荷和非保守力，可表示为：

其中保守的部分是由于重力加载，如公式（9.12b）提到的。由于弹簧基础的载荷与单位长度的刚度是一个保守的负载，同时为了方便，将轴向载荷假定为一个保守的载荷。在左边界，有一个刚度为的线性扭转弹簧和一个刚度为的线性平移弹簧。相似的，在右边界，有一个刚度为的线性扭转弹簧和一个刚度为的线性平移弹簧。左边界还有一个质量为转动惯量为的惯性元件，相似的，左边界还有一个质量为转动惯量为的惯性元件。在和处还分别有阻尼系数分别为的线性粘滞阻尼器。由于系统是非保守的，我们将利用公式（9.32）到（9.36）来推导运动方程和边界条件。

函数分别由公式（9.19）、（9.20）和（9.21）给出。由于在边界有粘滞阻尼器，有非保守力如公式（9.24）所得到的，可以做如下转换：

通过公式（9.19）来计算公式（9.32）中的独立项，我们可以得到：

通过将公式（9.39）代入到公式（9.32），来计算公式（9.37），我们可以得到的梁的控制方程：

其中：

如果重力荷载是作用在系统上的唯一保守荷载，那么利用公式（9.12b）和（9.37），横向载荷可以写作：

此外，由于重力的保守负载是一个静态负载，也就是说，一个独立于时间的负载。如果分布阻尼存在，且阻尼系数为，那么这个非保守力的一种可能的形式是：

这一项的单位的形式为。公式（9.41c）中的负号表示该负载与运动方向相反。在示例9.8中，这一项也被考虑进去了。

四个边界条件可由如下得到。其中的两个边界条件可由将公式（9.19）和（9.20）代入到公式（9.33）和（9.34）中得到，的两个边界条件可由将公式（9.19）和（9.21）代入到公式（9.35）和（9.36）中得到。

根据图9.2，的大小为相对于x轴的梁的斜率或者关于y轴的梁的中性轴的旋转。在公式（9.8）和（9.9）中，剪切力V和弯矩m是存在于边界

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