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基于几何约束的结构光系统的逐像素绝对相位展开

摘要：这篇论文介绍了一种逐像素相位展开的方法，这种方法仅使用结构光系统的几何约束，不需要额外的图像采集或另一个照相机。具体来说，根据校准结构光系统的几何约束可得到在给定虚拟深度平面Z=Zmin处的人工绝对相位图Phi;min；通过参考Phi;min可以逐像素展开缠绕相位。由于Phi;min定义在投影机空间中，所以从这种方法获得的展开相位对于每个像素是绝对的。实验结果表明了这种新提出的绝对相位展开方法是成功的。

1.介绍

三维（3D）形状测量具有许多应用，包括制造中的原位质量控制和医疗实践中的疾病诊断。

在已开发的所有3D 形状测量技术中，使用相位而不是强度有这些优点：对传感器噪声的鲁棒性，对表面反射率变化的鲁棒性，以及能够实现高空间和/或高时间分辨率[1]。多年来，许多相位恢复方法被开发出来，包括傅里叶法[2]，窗口傅里叶法[3]，相移法[4]。总的来说，典型的条纹分析方法仅提供范围从-pi;到﹢pi;，模数为2pi;的相位值，因此必须采用相位展开算法以在3D重建之前获得连续相位图。

通常存在两种类型的相位展开方法：空间相位展开和时间相位展开。空间相位展开从相位图本身检测2pi;个不连续，并通过相应地加上或减去K(x,y)个2pi;来去除它们。整数K(x,y)通常称为条纹阶数。由Ghiglia和Pritt[5]编辑的书总结了许多相位展开算法，其中一些更快但是更不具有鲁棒性，一些更具有鲁棒性但更慢; Su和Chen[6]撰写的评论文章涵盖了广泛的可靠性指导相位展开算法。不管空间相位展开算法的鲁棒性和速度如何，其通常仅产生相对相位图：相对于连通分量内的相位图本身上的点的相位图; 因此，如果要在绝对意义上同时测量多个孤立对象，则对于任何空间相位展开方法都是困难的。此外，如果突然的表面几何形状改变引入从一个像素到其相邻像素的多于2pi;的相位变化，则大多数空间相位展开算法失败。

相反，时间相位展开试图通过获取更多信息从根本上消除与空间相位展开相关联的问题。实质上，时间相位展开通过参考附加的被捕获信息，例如更多的条纹图案，来找到条纹阶数k(x,y)，而不是通过找到要从围绕该像素的相位值添加到每个像素的2pi;的数目或条纹阶数K(x, y)。换句话说，时间相位解卷寻找在时间上而不是在空间上获取的信息。 多年来，已经开发了许多时间相位展开方法，包括两个或多个频率（或波长）相移技术[7-9]，灰色编码加相移方法[10,11]，空间编码加相移方法[12]， 编码加相移方法[13-15]。因为通过参考预定义的信息来展开相位，所以时间相位展开可以提供绝对相位。上述时间相位解缠绕方法很好地工作以恢复绝对相位，但是它们需要捕获用于条纹阶数K(x,y)确定的附加图像。由于要获取更多的图像，所以时间相位展开减慢了测量速度，这不利于高速应用。

为了减少常规时间相位展开方法采集速度的限制，研究人员试图将第二相机添加到用于绝对相位解缠的标准单相机，单投影仪结构光系统中[16-19]。因为第二相机可用于从另一视角捕获图像，所以在不使用常规空间或时间相位展开的情况下，立体几何约束和对极几何可用于条纹阶数K(x,y)确定。此外，因为投影仪在其上投影编码的结构化图案，所以相位信息可以用于简化传统双相机立体技术的立体匹配问题。基本上，左相机上的点被约束为使相同相位值的右相机上的点匹配，由于缠绕相位图是周期性的并且包含条纹，所以右侧相机上的可能候选不是唯一的。通过应用立体视觉相机的对极几何约束，对应点被限制在核线上的几个点上（每个边缘周期仅一个点）。最后，可以通过使用第二相机图像，校准体积以及其他技术来验证正确的对应点。这种方法已被证明对于绝对复杂几何捕获是成功的。然而，它通常需要全局向后和向前检查以从许多候选点中选择正确的对应点。因为需要全局搜索，所以其计算速度慢，并且难以测量表面几何形状急剧变化的对象。此外，这样的系统需要精确地校准三个传感器（两个相机和一个投影仪），这通常是不重要的。

为了克服需要全局向后和向前搜索的方法的局限性，Lohry等人[20]开发了一种结合常规立体声方法的方法以加速整个过程。所提出的方法包括两个阶段：1）使用立体匹配算法获得粗视差图以避免全局搜索和检查；2）使用局部包络相位进一步细化粗视差以实现更高的测量准确性。为了获得更准确的视差图而不增加所使用的图像的数量，Lowry等人[20]提出的方法将统计模式嵌入到规则条纹图案中。该方法不需要由投影仪施加的任何几何约束，因此不需要投影仪校准，进一步简化了系统开发。然而，由于逐像素像差精细化，处理速度仍然有限。 一般来说，对于任何这些方法来说，在没有显著硬件级程序实现和优化的情况下仍然难以实现实时处理。并且由于使用第二相机，它们都增加了硬件成本和算法复杂性。

本文提出一种新的绝对相位展开方法，其仅通过结构化光系统的几何约束来确定绝对相位，而不需要另外的相机，更多的条纹图案或全局搜索。 由于不需要额外的图像，因此3D形状测量的测量速度不受影响；并且因为不需要全局搜索，所以处理速度可以很快。 简而言之，可以从结构光系统的几何约束创建出在给定深度z = z min处的人工绝对相位图Phi;min。对于所提出的方法，通过参考人工创建的相位图Phi;min，可以逐个像素地展开缠绕相位。 由于Phi;min定义在投影机空间中，所以从该方法获得的展开相位是绝对的。 实验结果表明，这个新提出的绝对相位展开方法是成功的，尽管其工作深度范围是有限的。

1. 解释了所提出的绝对相位展开方法的原理。第3节介绍实验结果以验证所提出的方法和说明其限制。第4节讨论了所提出的绝对相位展开方法的优点和局限性，最后，第5节总结了本文。

2.原理

本节从根本上解释了所提方法的原理。具体来说，我们将介绍标准针孔相机模型，然后通过理论推导和图形说明详细介绍逐像素绝对相位展开方法。

2.1.三步相移算法

使用相位而不是强度对于3D光学测量是有利的，因为其对于噪声和表面反射率变化更具有鲁棒性。多年来，已经开发出许多条纹分析技术来检索相位信息，包括傅立叶方法和各种相移方法[4]。与其它相位检索方法（例如，傅立叶或窗口傅立叶）相比，相移方法具有测量精度和鲁棒性上的优势。 不失一般性，本研究使用用于相位检索的三步相移算法作为例子来验证我们提出的绝对相位展开算法的性能。具有相等相移的三个相移条纹图像可以在数学上写为

其中I（x，y）是平均强度，I（x，y）是强度调制，phi;是要求解的相位。 同时求解三个等式得

从等式中得到的相的相位范围从－pi;到pi;，同时具有2pi;不连续性。为了去除2pi;不连续性，可以使用空间或时间相位展开算法。相位展开本质上就是确定每个点的整数K(x,y)，使得展开相位可以使用以下等式获得

这里K(x,y)通常被称为条纹阶数。 如果K(x,y)在绝对意义上（例如从时间相位展开算法获得的那些）被预定义，则展开相位Phi;(x,y)是绝对相位。空间相位展开通常产生相对于缠绕相位图上的一个点的K(x,y)，因此空间相位展开只能产生相对相位。重要的是要注意，我们将Phi;(x,y)表示为整个纸张的展开相位phi;(x,y)。代替使用传统的时间相位解缠方法,即通过捕获更多的条纹图像来获得绝对相位图，我们提出了一种新的方法，通过使用结构光系统的几何约束而逐像素地获得绝对相位图，这种方法不需要任何额外的图像采集或第二摄像机。

2.2.结构光系统模型

我们首先讨论结构光系统的建模，因为它对于理解所提出的如何使用基于几何约束的逐像素绝对相位展开方法是至关重要的。我们使用众所周知的针孔模型来描述成像系统。该模型基本上描述了从3D世界坐标（x^w，y^w，z^w）到2D成像坐标（u，v）的投影过程。线性针孔模型可以数学表示为

其中r_ij和t_i分别表示来自世界坐标系统到透镜坐标系统的旋转和平移；s是缩放因子；f_u和f_v分别描述了有效焦距；gamma;是u轴和v轴的偏斜因子；（u₀，v₀）是主点，即光轴与成像平面的交点。

为了简化数学表示，我们定义投影矩阵P为

投影矩阵P可以通过公认的相机校准方法来估计。

用于相机的相同透镜模型可应用于投影仪，因为投影仪可以被视为相机的反面[21]。如果在相同的世界坐标系下执行相机和投影仪校准，即定义相同的世界坐标系，则相机和投影仪的投影矩阵将物理相关。为了简单起见，我们通常使世界坐标系与摄像机透镜坐标系或投影机透镜坐标系重合。 因此，我们将有两组方程，一组用于相机透镜，另一组用于投影仪透镜

这里上标^p表示投影仪，上标^c表示相机，上标^t表示矩阵的转置操作。

在结构光系统校准之后，投影矩阵P^c和P^p是已知的。摄像机模型方程与投影仪模型方程为每个像素（u^c，v^c）提供6个具有7个未知数的方程（s^c，s^p，x^w，y^w，z^w，u^p，v^p）， 并需要一个附加的约束方程来唯一地解出所有未知数。例如，为了恢复3D形状测量系统的坐标（x^w，y^w，z^w），绝对相位可以用于相移方法[21]。绝对相位Phi;（x，y）基本上创建一对多映射约束方程，其将照相机图像平面上的一个点（u^c，v^c）映射到具有完全相同相位值的投影仪图像平面的线（u^p或者v^p）上。假设条纹图案沿着u^p方向正弦地变化并且沿着v^p方向保持恒定。 如果绝对相位Phi;对于任何给定点是已知的，则u^p可以被求解为

假设绝对相位在u^p = 0处从0开始并且随u^p增加。 这里，T是以像素为单位的边缘周期。

2.3.使用最小相位图的绝对相位展开

图1用图像展示出了透镜的简单几何光学和针孔模型的使用，如果物平面是被精确地放置在z^w= z_min处的平坦表面，则相机传感器平面可以映射到投影仪传感器平面。一旦在投影仪传感器平面上找到映射区域，则可以预定义相应的相位图。因此，对于虚拟定义的z_min平面，可以精确地产生相应的相位Phi;min。 在本文中，我们建议使用人工创建的相位图Phi;min进行绝对相位展开。数学上，对于给定的相机像素（u^c，v^c），如果我们知道z_w值，所有七个未知数包括（u^p，v^p）可以使用摄像机方程式和投影仪方程式唯一求解。如果（u^p，v^p）已知，则该相机像素（u^c，v^c）的相应绝对相位值可以被唯一地定义为

在投影机空间。这里我们假设投影仪使用T像素的条纹周期，并且条纹图案沿着正弦方向沿u^p方向变化。因此，对于z^w = z₀处的虚拟测量平面，可以逐像素地定义一个人工绝对相位图。 如果z^w= z₀= z_min是最接近的感应深度，则我们将该人工创建的相位图定义为最小相位图Phi;min，其显然是z_min，条纹周期T和投影矩阵的函数，

如上所述，一旦结构光系统在相同的世界坐标系统下被校准，投影矩阵P^c和P^p是已知的。给定z_min，我们可以通过同时求解方程（9）-（10）来求解每个相机像素（u^c，v^c）的对应的x^w和y^w。

图1通过使用结构光系统的几何约束，可以建立照相机图像传感器（例如，电荷耦合器件或CCD）与投影仪传感器上的对应区域（例如，数字微镜器件或DMD）之间的映射。

这里p^c_ij表示第i行和第j列中的P^c的矩阵参数。利用已知的（x^w，y^w）投影仪方程为每个摄像机像素产生相应的（u^p，v^p）

一旦计算（u^p，v^p），我们可以使用等式确定对应于该像素的z_min的绝对相位值Phi;min（u^c，v^c）。因为在相机成像传感器上逐像素地创建Phi;_min（u^c，v^c），所以这样的相位图可以用于逐像素地展开相位图。并且由于该相位在投影仪空间上定义，通过参考Phi;_min（u^c，v^c）获得的展开相位是绝对的。

图2说明了使用最小相位来校正2pi;不连续性的基本概念。假设在红色虚线窗口中标示出了在z = z_min处照相机

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