混合整数非线性规划模型，用于限制成本项目进度表的非线性离散优化外文翻译资料

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混合整数非线性规划模型，用于限制成本项目进度表的非线性离散优化

Uroscaron; Klanscaron;ek, Ph.D.¹

摘要：本文介绍了限制成本下项目进度非线性离散优化的混合整数非线性规划（MINLP）模型。提出的模型包括成本目标函数，广义优先关系约束，项目持续时间约束，逻辑条件和成本限制。 MINLP模型允许包含各种非线性表达式，并为建设项目管理提供准确的最佳输出数据，如总体项目成本的甘特图，直方图和S曲线。贡献的新颖之处在于，计划员现在能够在每个离散工作时间单位同时执行项目活动的精确最优调度，同时调度非线性限制的总项目成本。在这一点上，可以对项目总成本的增量和累积值设置限制。本文给出了一组应用实例来演示所提出的模型的优点。 DOI：10.1061 /（ASCE）CO.1943-7862.0001074。 copy;2015美国土木工程师学会。

作者关键词：项目管理; 计划; 离散优化; 限制成本; 混合整数非线性规划（MINLP）。

介绍

在众多的建设项目，随着时间的推移的活动和总成本的配送优化调度代表高度重视的话题，即成本和工期超标是可以显着影响整体项目绩效的共同问题。 因此，根据统一的计划和成本估算，成本效益好的调度通常被证明是实现建设项目流动性和盈利能力的基本条件。 在实施成功的项目关闭之前，还需要考虑到调度过程中需要考虑的事项：项目持续时间的变化通常导致项目总成本不同。 然而，一旦随着时间的推移，总体项目成本分配一经实施，就可以在项目活动中选择持续时间，成本优化项目调度成为一项具有挑战性的任务。自从引入时间成本的权衡问题以来，成本优化的项目进度调度领域引起了科学界的广泛关注。经过数十年的研究，各种优化模型已经通过近似启发式算法或精确的数学规划方法开发和应用。关于启发式技术，使用遗传算法（Eshtehardian et al。2009），模拟退火算法（He et al。2009），塔布搜索（Hazir et al。2011），神经网络（Adeli和Karim）进行了项目进度的成本优化1997），蚁群优化（Kalhor et al。2011），粒子群优化（Yang 2007），差异演化（Nearchou 2010），和谐搜索（Geem 2010），以及遗传算法和动态规划（Ezeldin和Soliman 2009），切割平面法和蒙特卡罗模拟（Mokhtari等，2010）以及遗传算法和模拟退火（Sonmez和Bettemir 2012）等混合方法 ）。

确切的数学规划方法也被广泛认为是项目进度成本优化的有利工具。首先，在最优选项目调度中，时间成本关系被假设为线性的（Fulkerson 1961），这使得优化问题能够使用线性规划（LP）方法。然而，即使是这一领域最早的研究也确定了实际项目中时间和成本之间的依赖性很少是线性的。为了处理时间 - 成本关系的非线性特性，文献中已经提出了项目进度成本优化的非线性规划（NLP）模型（例如，Klanscaron;ek和Pscaron;under2010）。

项目进度大多以离散的时间单位建立，如工作日。由于LP和NLP代表连续的优化技术，混合整数线性规划（MILP）模型已经被开发为替代工具，通过这些工具可以通过非确定性方法来解决项目调度问题的离散决策变量（Manesietal。2013）。在上述领域中，研究了各种精确优化技术，特别是解决离散时间成本权衡问题的方法（De et al。1995; Demeulemeester et al.1998; Moussourakis and Haksever 2004; Vanhoucke 2005; Hazir et al。2010）。然而，针对离散项目调度问题开发的优化模型中的非线性项目通常用线性或分段线性函数近似，因为MILP算法只能处理变量之间的线性关系。文献中还有几个可以处理变量之间离散关系的MILP模型。例如，De et al。的MILP模型（1995）被提出用于离散的时间成本折衷问题，并且可以处理离散关系而不做任何近似。

在Klanscaron;ekandPscaron;under（2012）的前一篇文章中，MINIP优化解决特定非线性离散项目调度问题的能力在时间成本折衷问题上得到了体现。在Klanscaron;ek（2014）的后续研究中，还针对一组参考问题，测试了不同的最新MINLP方法在组合，（非）凸和离散网络问题中的精确最优性能的表现。在获得的结果与文献的结果进行比较之后，两项研究都揭示了MINLP方法的解决方案效率。受到以往研究取得的成果的鼓舞，本研究的目的是在（非）线性限制成本的最优项目调度领域向前迈进，这是经常出现在施工管理实践中的具有挑战性的任务。将非线性依赖关系包含在项目调度过程中以及离散变量之间的自由度并同时处理以获得精确的最优解仍然是许多现有工具的重要障碍。

因此，本文提出了一种用于限制成本的项目进度的非线性离散优化的新MINLP模型。 MINLP模型包括成本对象函数，广义优先关系约束，项目持续时间约束，逻辑条件和成本限制。 它允许包含各种非线性表达式，并为施工项目管理提供准确的最佳输出数据，如甘特图，直方图和总工程成本的S曲线。 所提出的模型的使用使得计划者能够同时调度项目活动的精确最优调度，同时调度非工程限制的项目总成本在工作时间单位。此外，可以根据项目总成本的增量和累积值来设置。 本文给出了一组应用实例来演示所提出的模型的优点。

成本目标函数

要确定最佳解决方案，必须在目标函数内定义优化标准。 虽然许多不同的标准可以适当地包括在特定项目调度问题的优化模型中，但总体项目成本的最小化可能是施工实践中经常使用的目标之一。 因此，MINLP模型的成本目标函数以下列形式确定：

目标变量COST代表项目总成本; setI建立项目活动;iisin;I; Ci确定活动的直接成果; CI代表间接项目成本; P表示项目罚款; B定义项目奖金。

在许多建设项目中，直接成本Ci和持续时间之间的依赖关系可以从分配给它们的资源确定。 在对最优项目调度的早期研究中，经常假设成本持续时间关系为线性，以简化优化问题。 1（a）; 福克森（1961）]。 因此，成本目标函数采用线性形式，可以有效地解决应用LP技术的优化问题

然而，当在实际项目调度任务中必须考虑不同的活动持续时间替代方案时，活动的直接成本与其持续时间之间的依赖性通常被认为是非线性的。 考虑到已发表的文献，项目活动中的非线性成本持续时间依赖性偶尔使用分段线性函数来处理，更常见的是具有连续凸表达式。 1（b和c）; Klanscaron;ek和Pscaron;under（2012）]。 可以使用项目调度中的MINLP优化来处理确定的非线性，其中凸度假设可以通过使成本持续时间函数Cifrac14;feth;DiTHORN;在必要时采取不同的形状，如凹槽（FalkandHorowitz1972），混合凸轮（Moder等人） 1995）和离散（Sakellaropoulos和Chassiakos 2004）等。 1（d-f）

项目间接成本CI通常取决于项目持续时间DP。 建筑项目的间接成本通常包含初始成本，业务运营和间接成本以及设备运营成本。 一般来说，项目间接成本可以在MINLP模型中制定，应用不同（非）线性表达式CIfrac14;feth;DPTHORN;。 然而，实际情况下通常使用项目持续时间与间接成本之间的线性依赖关系，通常设定为日常成本。

在合同范围内，对项目安排的最优结果可能有重大影响，即项目投标时间DL，而奖励B与项目执行期间实施的早期完工期密切相关。 一般来说，项目处罚和奖金可以用各种（非）线性项设定到MINLP模型中。 在出版作品中，表达

Pfrac14;feth;DLTHORN;andBfrac14;feth;DETHORN;被定义为常数（即单罚分/奖金），更频繁地作为无约束线性函数。 2（a和b）; Sonmez和Bettemir（2012）]。

另一方面，项目处罚和奖金在施工实践中也经常被认为是向上约束线性表达式。 2（c）]。 例如，在斯洛文尼亚，建筑合同中出现了向上限制的线性惩罚。 目前的Posebne Gradbene Uzance（1977）规定，项目延误的每日处罚是合同价值的0.10％，最高限额是5％的最高限额。 FIDIC（1999）也可以建立另一个例子，其中建议的每日项目罚款为0.02％，最高罚款限制在合同价值的10％。

广义优先关系约束

在项目计划中，所有这些都将被考虑到项目网络图中，同时考虑到它们之间的合适的优先关系。 在这一点上，MINLP模型包含生成优先关系约束的节点间活动方法。 因此，每个项目活动iiisin;I通过满足广义优先关系约束中的至少一个与即将完成的活动j，jisin;Jeth;iTHORN;相关联，即完成到开始（FS），起始到开始 （SS），完成（FF）和开始到完成（SF）条件（图3）。

因此，在MINLP模型中设定了广义优先关系约束

其中项目活动的开始时间Si和持续时间Di被定义为变量，而使用整数常数参数确定活动i，iisin;I及其后续活动j，jisin;Jeth;iTHORN;之间的滞后/提前时间Li; j。 这里，利用正参数Li; j建立滞后时间，而交货期固定为负。

项目期限限制

项目活动必须在项目开始和完成之间执行。 因此，限定了项目活动完成时间的以下限制：

其中变量Siomega;和Diomega;表示最终活动的开始时间和持续时间iomega;，iomega;isin;I; Sialpha;表示初始活动ialpha;，ialpha;isin;I的开始时间。 一旦获得项目持续时间DP，在项目网络中建立关键活动（即位于关键路径上的活动）以及浮动时间（即非关键活动）。

非关键活动可以延迟，不影响项目期限和总成本。 在MINLP模型中，表达式thorn;εSi和-εSi可以放在目标函数中，对于那些应该尽可能早地开始的浮动时间的活动。 这里要注意的是术语εSi应该包含对目标函数没有显着影响的小值的系数ε（Sakellaropoulos和Chassiakos 2004）。 另一方面，设定在应该最小化的目标函数中的εSi项迫使项目活动Si的开始时间取整数值，因为它们的持续时间Di也被迫使用逻辑条件取离散量的时间单位 。

逻辑条件

集合k，kisin;Keth;iTHORN;被定义为将项目活动i，iisin;I的离散持续时间ddi; k的上层结构纳入模型。 确定二进制0-1变量ydfrac14;fydi; kg的向量为每个活动iiisin;I选择离散持续时间。 由于生成的整数常数ddi; k表示对应的连续变量Di的各种潜在的离散解，所以使用以下条件用二进制变量ydi; k进行选择最优的处理：

按照公式 （7）中，每个离散常数替代ddi; k被选择为相应的连续变量Di的离散解，只有当分配的二进制变量ydi; k达到等于1的值。如果分配的二进制变量的获取值等于0，则离散选项将被拒绝。方程式 （8）确保只能选择一个离散值ddi; k作为每个变量Di的离散解。

集合T在MINLP模型中定义，以表示工作时间单位t，tisin;T（例如，工作日）。 之后，使用二进制变量ya = fyai; tg的向量来选择用于执行活动i，iisin;I的最优工作时间单位，即建立活动工作时间单位Wi; t。 如果分配的二进制变量yai; t等于1，则在可用的工作时间单位awt执行活动i，iisin;I。在这方面，在空闲工作时间单位处，发现二进制变量yai; t等于0; 因此，工作时间单位被分配到项目活动中

其中使用整数常数定义可用工作时间单位awt的集合（例如，第一个工作日的aw1 = 1，第二个工作日的aw2 = 2等），并在离散替代物的上部结构中生成。 以这种方式，所提出的表达式能够为iisin;I和tisin;T之间的所有定义的组合选择活动工作时间单位。

由于选择执行项目活动的工作时间单位数量应等于其持续时间，因此必须满足以下条件：

此外，每个选定的工作时间单位Wi; t应位于项目活动的开始和结束时间之间。 为此，应满足以下限制：

项目活动的开始时间必须与其第一个工作时间单位一致。这种关系是由

为了更好地呈现由方程式确定的约束。（9） - （12）， 图4示出了可用工作时间单位awt，活动工作时间单位Wi; t，活动开始时间Si和持续时间Di以及二进制变量yai; t之间的关系。

项目工作时间单位使用二元变量ypfrac14;fyptg进行确定。 因为可用的工作时间单位awt仅在其分配的二进制变量ypt等于1并且也必须在项目持续时间DP内发生时才被选择为项目工作时间单位，应满足以下条件

图4.可用工作时间单位，活动工作时间单位，活动开始时间和持续时间以及二进制变量之间的关系。

实际项目持续时间DP，延迟时间量DL，提前完成期限DE和目标项目持续时间DT之间的合理关系，可以在合同中表示为

在项目调度优化任务中，实际项目持续时间，延迟时间和早期完成时间通常被认为是非负变量（即DPge;0，DLge;0和DEge;0），而目标项目持续时间通常 作为输入参数处理。 这里，项目完成替代方案由子集f，fisin;Feth;tTHORN;确定。 另外，目标项目持续时间与实际项目持续时间之间的关系为

其中应用二进制变量ycf来决定是否在早期，晚期或到期时间完成项目的最优化，并且使用参数delta;f来定义早期和晚期完成期以及项目到期时间的离散替代品。

在这一点上，早期完成期间的替代方案设置为正整数，而后期的替代方案用负整数确定。 由于在任何解决方案中只能选择一个覆盖的项目完成选项，二进制变量ycf被额外的约束

成本限制

建设项目往往需要在不同的规模下执行。 对于这样的条件，对于项目的工作时间单位，总体项目成本的增量和

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