空间扩散谣言传播模型的动力学分析外文翻译资料

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空间扩散谣言传播模型的动力学分析

摘要：本文对一种具有政府控制的延迟反应扩散谣言模型的动力学进行研究，利用偏泛函微分方程的理论，研究延迟为分岔参数的系统的霍普夫分岔问题。结果表明，离散时间延迟在谣言动力学中具有不稳定的影响，而霍普夫分岔现象是当延迟在一定的阈值中增加发生的。然后通过数值模拟研究了政府控制的影响，结果表明，政府控制对模型的动力学影响较大。

关键词:谣言;传播;延迟;扩散

1 引言

谣言是一种社会现象,类似的言论通过通信链在短时间内大规模传播^[1]。与过去的流言传播方式相比，现在由于广播、电视、报纸、手机等的出现，谣言出现并广泛传播。

众所周知，有害谣言的传播会严重危害社会, 在伴随的意外事件中，大多数谣言会引发恐慌心理或经济损失。突发事件会在各个方面对人们的生活造成严重的负面影响:不仅事件本身可能导致经济损失或人身伤害的,而且可能会出现谣言导致恐慌情绪和非理性行为^[2]。为了减少和避免网络社交网络谣言传播的危险，有必要充分了解谣言传播的动力学特征。谣言传播非常类似于病毒的扩散,因此,大多数现有的谣言传播模型来源于传染病模型^[3-11]。由戴利和肯德尔^[12,13]引入的最受欢迎的信息或谣言传播模型^[14,15],在概念上类似于SIR模型，这是一个流行病学susceptible-infective恢复模型,具体分为三个类:无知者、传播者和受影响者,即那些对传播信息或谣言失去兴趣的人。他们的角色与易感、感染和恢复的SIR模型的作用完全相同。流行病学模型已经被反复用于描述信息传播，例如博客空间中的主题流，以及产品营销中的口碑。

上面提到的模型只在时间维度上没有扩散。最近,王教授等人^[16]提除了一个冗长的物流与时空扩散条款(DL)模型来研究在线社会网络的信息传播过程。作者用一个新的概念描述了空间距离:友谊的跳跃，并抽象地将在线社交网络中的信息扩散过程划分为两个独立的过程:成长过程和社会过程。王教授等人进一步提出了一种基于线性偏微分方程(PDE)扩散模型来理解信息扩散过程在时间和空间维度^[17],结合Digg数据集的实际观测结果，证明了所提出的线性扩散模型的性能。据我们所知，PDE谣言传播模型的研究还处于初级阶段，还存在许多有待研究的问题,因此，这些时空模型将为社交网络的谣言传播提供新的研究视角。

值得注意的是，在谣言传播模型中提到的大多数作品都认为谣言传播没有时间延迟。事实上,类似于流行病模型^[18,19],关于谣言传播的过程，我们应该考虑到，在一个受影响的无知用户有传播谣言的能力之前，存在一个潜伏期。因此，需要考虑延迟。

本文的目的是提出一个更具有现实意义的谣言传播模型，并进一步分析该模型在数学中的动态特性。

主要结构安排如下：第二部分,描述建模方法；第三部分,研究系统存在的平衡点；第四部分,研究局部稳定性和霍普夫分岔的存在相关联的特征方程；第五部分,证明内部平衡的全局渐近稳定性；第六部分,通过数值分析对上述理论进行证明。

2 模型

本章描述了一个延迟的时空谣言传播模型。我们的目标是创建一个真实的模型，该模型可以更深入地了解在线社交网络中的谣言流行程度。

一般来说，一个在线社交网络由许多移动互联网用户组成。用户的地理位置是由距离x谣言的来源^[20]。在任何时候，根据它是否连接到网络,用户都被分为内部或外部。基于经典的SIR流行病模型,在这个工作中,一个在线社交网络的用户可以分为三类根据他们的不同状态:无知的(那些不知道谣言),传播者(那些传播),和易受影响的(那些知道谣言,但有人已经通知)后停止沟通会议。为简单起见，我们使用I(t, x)， S(t, x)和R(t, x)来表示无知用户的密度，传播用户，并在t时刻以x的距离限制用户。为了在整个在线社交网络中建立谣言的传播模型，我们对以下设定进行了假设:

(1)我们认为无知的用户和抑制用户通常是具有承载力的逻辑增长和内在的增长率。

(2)在网络社交网络中，当一个无知的用户被传播的用户感染时，在网络上传播的传染媒介有一个传播的潜伏期，只有在那个时候，受感染的用户才会变得具有传染性。因此，定义传播潜伏期的延迟更为合适。

(3)通常，当谣言在网络社交网络中传播时，政府会采取有效的措施来控制和移除传播的用户。

我们假设的动力传输节点图1描绘。因此，我们的模型可以表示为:

其中S为ignorants, I为spreader, R为stiflers。a,b,c,d₁,d₂,d₃,gamma;,alpha;,beta;和eta;都积极的常量。di (i =)是usersv的扩散系数，被用来描述移动。S(a - bS)和R(c - dR)分别代表了具有logistic增长的ignorants和stiflers。beta;SI(t-tau;) alpha;I(t-tau;)趋向于饱和电平变大时,tau;是一个非负常数代表潜伏期传播,也就是说,只有推迟后,被感染的用户成为自己感染,然后他们可以在在线社交网络散布谣言。beta;I(t -tau;)措施的感染力量谣言和 alpha;I(t-tau;)措施抑制效应的行为改变无知的人当他们的数量增加或从感染个体的拥挤效应。gamma;的死亡率是节点,eta;是政府权力的控制。

这里我们假设系统有以下的正初始条件和冯诺伊曼边界条件:

△表示的拉普拉斯算符, Omega;是一个有限域与光滑边界part;Rn和phi;是part;的外法向量。Omega;的边界条件(2)意味着没有谣言的边界。psi;i(t,x)(i =1,2,3)初始密度函数。他们非负和持有人连续,满足part;psi;i /part;phi;=(-infin;,0]times;part;

3 平衡点

在这一节中，我们将找到所有可能的非负平衡。

显然，系统有四个可行的非负平衡，即

(1)简单点E₀(0、0、0)^T。

(2)边界平衡E₁(0、0、c-gamma;d)^T，作为c gt;gamma;,代表国家相应的无知者的灭绝。

(3)边界平衡E₂(a-gamma;b、c-gamma;d)^T,作为cgt;gamma;和agt;gamma;,代表国家相应的传播者的灭绝。

(4)内部均衡Elowast;(Slowast;，Ilowast;,Rlowast;)^T。

在内部平衡点上，我们必须：

解决第二个方程(3),我们得到S =1/beta; (gamma; eta;)(1 alpha;I)。把S代入(3)的第一个方程中，我们得到

为简单起见,我们表示△=A2 2 —4A₁A₃。接下来的的结果是显而易见的。

根据定理3.1，对于（4），我们得到以下几点：

(1)如果△gt;0且A₃lt;0,那么(4)有一个独特的正根I^*=。

(2)如果△=0且A₂lt;0,那么(4)有一个独特的正根I^*=。

(3)如果△gt;0,A₃gt;0且A₂lt;0,那么(4)有两个独特的正根I^*=。

根据定理3.1，系统（1）至少会有一个正稳态

4 局部稳定性和霍普夫分岔

在本节中,我们将通过分析对应的特征方程来讨论的局部稳定性和霍普夫分岔系统^[1]。

首先，我们作出以下备注：

其中

并将它们替换入方程(1)中。为了简便起见，把这些条去掉，保留线性项在S，I，和R中：

因为边界条件是在域X上的齐次范诺伊曼，()的合适的特征函数是：

其中n是特征值和波数。在方程组(5)收益中替换此表单：

因为e^lambda;t cos nxne;0,方程(7)等价于以下一系列线性代数方程:

非平凡解当且仅当等式(8)存在:

等式(9)等价于下面的等式:

其中

我们作出以下设定：

当n=0时，关于平衡点E(0，0,0)的特征方程(10):

对于平衡点E₁(0,0,c-gamma;/d)^T，n=0，方程(10)减少到:

对于边界平衡E₂(a-gamma;/b，0,c-gamma;/d)^T，当n=0，(10)变成

通过一个简单的计算,我们有以下几点:方程(12)和(13)都有一个积极的根。如果(H₁)，(14)至少有一个积极的一个积极的根,tau;=0。因此，我们得到如下结论。

定理4.1：如果(H₁)不变，那么边界平衡E₀和E₁都是不稳定的。当tau;=0，,E₂是不稳定的。

在接下来的部分,我们分析关于内部均衡的稳定性和霍普夫分岔Elowast;(Slowast;，Ilowast;,Rlowast;)^T。

当tau;=0，E₂等于下面的三次方程:

很明显,当(H₃)不变，lambda;=0不是(15)forall;nisin;N₀={0，1,2，hellip;}的根。

引理4.1如果(H₂)和(H₃)不变，那么当forall;nge;0且系统(1)与tau;=0的内部平衡E^*局部渐近稳定时，lambda;=0不是方程(15)的根。

很明显，从方程(15)我们得到:

如果(H₂)和(H₃)不变，然后lambda;₁ lt; 0, lambda;₂ 和lambda;₃是小于且有负的实部，因此,系统(1)和tau;=0是局部渐近稳定的。

为了进一步讨论，我们表示：

并且作出以下假设：

现在我们讨论的影响延迟tau;的平凡解的稳定性^[5]。假设iomega;根(10)。那么对nge;0来说omega;应该满足以下方程：

这意味着

从(18)，为两个方程的收益率加上平方项

让 z = omega;²,（19）变成

其中

定理4.2：如果(H₂) (H₄)不变，然后对于tau;ge;0，方程（18）所有的根有负的实际部分。此外, 对于tau;ge;0，内部均衡E^lowast;系统是渐近稳定的。

证明假说(H₃),我们知道A_nB_n beta;²alpha;₁alpha;₂—A_nbeta;alpha;₂gt;0。我们有

如果(H₅)不变，A₀B₀ – beta;²alpha;₁alpha;₂ A₀beta;alpha;₂lt; 0，因此，根据笛卡尔的“符号法则”，(21)有一个独特的正根。

根据引理4.2，方程(20)有一个独特的正根,由z₀表示,因此方程(19)有一个独特的正根omega;=radic;z₀。通过方程(18),我们有

因此,如果我们表示

然后plusmn;iomega;₀是tau;=tau;j 0 时，方程(19)的一对纯虚根。显然,序列{tau;j 0}infin; j=0 正在增加且

因此，我们可以定义

引理4.3：在引理4.2的条件下。如果(H₆)保持不变，那么方程(20)对于任意nge;1都没有正的实根。

从假设(H₆)证明, 当nge;1，我们可以获得

也就是说,任意nge;1，(20)没有正实根。

引理4.4：当tau;=tau;j 0满足(tau;j 0)=0,omega;(tau;j 0)=omega;₀，让lambda;(tau;)=alpha;(tau;)plusmn;iomega;(tau;)作为(10)的根。则下列反式条件成立:

证明微分双方(10)对tau;收益率：

然后我们获得：

因此，

将tau;j 0代入上面的方程,我们得到

通过上述分析，我们得到以下定理：

定理4.3：基于前题4.1—4.4，以下是语句是正确的:

(1)当tau; isin; [0, tau;), 其正

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