阿基米德如何帮助学生解开魔法数字π的谜团外文翻译资料

科学与教育（2014）23：61- 77DOI10.1007/s11191-013-

9643-0

阿基米德如何帮助学生解开魔法数字pi;的谜团

Ioannis pi;api;adopi;oulos

摘要：本文描述了一个课堂实验，学生使用数学史上发现的技术来学习一个重要的数学思想。 更准确地说，小学六年级的学生遵循阿基米德的穷竭方法来计算数字pi;。在计算机环境中，学生在圆圈内和周围刻上并限制规则多边形，以找到近似值

圆圈的面积。 然后，他们计算这种近似与边长等于圆半径的正方形的面积之比。这个比值表示圆的面积比正方形的面积大多少倍。 根据阿基米德的发现，学生们发现，当他们增加多边形中的边数时，他们得到的数值结果使他们相信这个数字几乎等于3.14。

1. 开场白

在过去的几年里，研究界对将数学史纳入数学教育越来越感兴趣。 然而，根据Siu 和Tzanakis，对研究文献的贡献大多停留在理论层面。本着同样的精神，扬克维斯特在《国际数学教学委员会第一世纪(1908-2008年)：反思和塑造数学教育世界》的评论中指出，“虽然大量的卷涉及数学教育的历史，但很少或根本没有关于历史在数学教育中的作用。教师需要一些例子来说明：(一)数学史如何引导他们发展出更广泛的数学技能，(二)历史在数学教学中如何使理解和认识历史在数学理解发展中的作用(克拉克）。克拉克接着补充说，如果有这样的努力，很少有人调查数学史如何有助于数学知识的教学。 另一方面，小学教师有大量的轶事报道，他们在这方面取得了成功。将数学史与初级算术研究联系起来的实践。这些轶事和关于在教育中实施这些想法的少数论文，包括Smestad、Kjeldsen和Blomhoslash;j，都清楚地表明，这种方法可以产生成效。有必要进行更多的实证调查，以更好地理解最有效的方法和可以有效地利用数学史作为学习和教学跳板来教授的数学思想的范围。

针对这一需要，本文提出了一种基于阿基米德计算pi;的耗尽方法的教学实验的实证研究。这个实验的动机是一个学生提出的问题：“为什么pi;几乎是3.14，而不是几乎其他东西，如3.13或3.15？

如果这个问题仍然没有得到回答，这将给学生留下这样的印象：发现像这样重要的数学思想是一种非凡头脑的即时洞察力的产物，而不是向任何愿意获得必要技能和从事数学探索系统工作的人开放的系统调查的产物。 此外，如果这个概念被呈现为一个与它的原始语境隔离的事实，学生就被剥夺了对一个人如何找出那个神秘数字的重要洞察力。

使用Jankvist的术语这个教学实验的目的有两个：使用历史作为工具，同时使用历史作为目标。 对前者来说，历史成为学生学习和学习数学的一个激励因素；对后者来说，目标是向学生展示这个神秘的数字在时间和空间上存在和进化， 并经历了一次进化，它不是立即出现的东西。 由于学生（小学生）的年龄，这个实验让他们在非正式的水平上处理这个话题，预览形式化，这是更合适的在一个较大的年龄。 教师研究人员决定遵循这一方法，基于他的信念，即对年轻学生来说，重要的是见证概念的发展，并在数学思想的构建中体验严谨性和想象力之间的相互作用。 帮助青年学生理解数学的做是数学学习发展的关键。

1. 导言

数pi;在数学史和数学教育中都占有独特的地位。

在数学史上，pi;被定义为圆的周长与其直径的比值和边长等于圆半径的正方形的面积的比值。 对于这两种情况，pi;一直是许多数学家从古代以来从所有国家寻找的中心。

在数学教育中，越深入pi;，它就越神秘（加尔顿）。最初，它是在小学时被满足的，因为学生工作的第一个公式之一；也就是说，通过将近似3.14替换为pi;来找到圆的周长或面积。后来，学生们被告知，不可能计算一个精确的十进制等价于pi;，尽管它从来没有明确说明为什么这个事实是值得知道的，学生们也不能理解任何方法来发现它。 即使它是一个看似简单的比率(C/2r和A/r2)，小数位数永远延续。 更多准确地说，pi;不能表示为一个确定的分数。 几年后，通常在大学期间，数学教育中pi;的存在并不会就此结束，但它超出了目的。

本文描述了pi;在数学中的所有有趣性质。 本文强调了pi;在小学中相对于圆的面积的使用，并描述了一个课堂实验，演示并说服学生pi;约等于3.14。 本实验的设计灵感来源于阿基米德的原始作品，它是基于一个圆内刻的多边形，并围绕圆进行限定的。 他的方法适应了学生理解某些数学概念的能力水平以及可用的工具。

下一节描述阿基米德是如何基于上述方法计算pi;的。然后，另一节介绍了在研究文献中发现的类似实验。 第五节描述了实验的背景，并逐步介绍了如何进行这个实验。 本文最后总结了所做的工作，强调了概念历史及其演变对学生概念理解的潜在贡献。

1. 阿基米德方法简史

在1706年，威廉·琼斯是第一个使用希腊字母pi;来表示这一重要比率的人，但它的值的最早近似要追溯得更远：数字3被希伯来人、埃及人和巴比伦人（哈里斯）使用，并被接受了许多世纪。后来，在公元前四世纪下半叶，欧几里德（公元前325-265年)证明了“圆圈是彼此作为它们直径的平方”(第十二卷，命题2）对pi; 的历史做出了贡献，这最终导致了圆的面积公式。 然而，直到公元前三世纪，阿基米德才

锡拉丘兹（公元前287-212年）承担了使用科学方法计算pi;的任务。 阿基米德在他的名著《圆的测量》中提出了三种方法。 第一种是在一个圆的面积等于一个直角三角形的面积， 其中三角形的腿分别等于圆的半径和周长。 在这个意义上， A=1/29C9r，其中A、C和r分别表示圆的面积、周长和半径。 第二个是圆的面积与a 的面积之比正方形，边等于圆的直径，为11：14（估计值）。 第三种方法包括在圆中刻字多边形和绕圆绕多边形。 内多边形和外多边形的面积被用来括号pi;的值。在第一次测量之后，通过连续地将所使用的多边形的边数加倍来不断地细化pi;的值。 这个过程可以继续下去，直到多边形与圆圈几乎无法区分。

为了得到pi;的近似值，阿基米德记录了一个上限和下限，结论是pi;在这些限制之间。 他开始了他的上限测量，使用一个规则的六边形包围一个圆。 然后，他继续绕过一系列正多边形，其边数是前一个多边形的两倍。 他确定了每个多边形的周长（高达96边），这使他能够解决pi;小于3的问题1 （上限）。 接下来，他确定了下限，使用刻有规则多边形，在一个类似的限制多边形之一（即六，十二，二十四，

四十八，九十六边）。 再说一遍，每次，他测量下⁷

到了一个较低的限制。

限周长。 通过这种方法，他找

许多数学家为了确定pi;的更准确的值而对多边形进行限定和刻字的过程持续了多年。 中国和伊斯兰世界的数学家也做了类似的尝试，在pi;(Burton)的近似下做出了贡献)。 公元三世纪，中国的万帆获得了3.1555年的估计。 两百年后，杰出的数学家-天文学家TsuChungchih在他的儿子的帮助下，得到了由3.1415926pi;3.1415927界表示的pi;值。 直到十六世纪末，西方才达到中国的准确性。 在伊斯兰世界，Ghiyath al-Din al-Kashi使用一种表示法正确计算pi;到16位小数，大大超过了以前的所有计算，直到16世纪荷兰人VanCeulen 正确计算pi;到35位小数。1

即使通过取更大和更大的倍数来获得更精确的近似，阿基米德对pi;的上界计算今天仍然被普遍用作pi;值的快速近似。

我们知道pi;是圆的周长与直径的比值（以及圆的面积与边长等于圆半径的正方形的面积的比值）。 当我们用这个定义来计算pi;时，我们需要想出一个周长的度量。阿基米德的穷竭方法是基于这样一种观点，即圆的周长可以近似于一个有界或内切多边形的周长。 虽然它仍然是一个近似-误差永远不能完全消除，增加这些多边形的边数增加了近似的精度。

1 表记录了当选择一个单位圆（直径=1）和一系列正多边形以六边形开始时，为

pi;获得的值(见图。 1).

单位圆内刻正六边形的周长等于3，而外刻六边形的周长等于2 33：4641016. 对于内切和外切的十二角，相应的数字是3.105828frac14;85和3.2153903。

继续这一过程，人们可以获得结果的周长，因为他们提出

下表。1

阿基米德的结论是，随着边数的增加，pi;的计算值将越来越接近pi;的真值。 因此，pi;的值将是这个单位圆中多边形周长的极限，因为边的数目是无穷大的。

1. 文献综述：课堂经验

阿基米德的计算pi;的想法已经在各个层次提出，特别是在中等教育中。

梅森和罗斯与高中(9年级）学生合作，目的是鼓励以学术为导向的学生把数学公式看作是描述

1 2002年12月，日本东京大学的计算机科学家Kanada、Ushio和Kuroda计算出pi;值达到世界纪录1.241191012 （1万亿以上）十进制数字。 计算消耗了日立SR8000超级计算机600小时以上的时间(。 2012年10月23日查阅)。

表1内切和外切正多边形的周长

表的所有算术数据都是从Harris中检索出来的

1圈内和周围的有界和有界的多边形。 这个数字来自哈里斯

在解决问题的情况下，函数关系以及算术指令。 这是通过从阿基米德作为数学思想家的历史记录中发展出来的活动来完成的。 更具体地说，关于pi;，他们想让学生参与到能够引导学生理解阿基米德的各种思维中。 学生开始用直边和圆规对给定的圆进行正多边形的刻划。 他们建立了上界和下界，根据他们的测量，非常接近pi; 的实际值。由于很难获得具有大量边的多边形，所以当这种方法被继续下去直到产生96gon时，学生们得到了结果。

另一种方法（虽然不是传统的）使用计算机编程环境。 Costabile和Serpi;e与中学生合作，提出了一些问题，包括阿基米德的想法，通过制定算法和在编程环境中测试该算法来解决。 学生们被要求开始阿基米德的方法，通过使用编程环境MatCos绕一个圆圈绕一个正方形。 作者发现他们的学生学会了：

(a)探讨数学与信息技术之间的跨学科方法，(b)将过去和现在联系起来。

但是，下一节将描述的教学实验的主要灵感是SergeLang的演讲，他的许多耶鲁学生认为他是最伟大的数学教师之一(Kahn等人)。 朗在他的书MATH中描述了这句话！ 与高中生相遇（郎）。

朗不是通过寻求pi;值的近似来开始的，而是通过建立它只有一个值，即它是常数。 一旦建立了欧几里得已经得到的基本事实，即C和A与r和r成正比，估计pi;的问题就会受到直接的激励2 分别。 显然，没有理由寻找C/2r和A/r的比率2如果还不知道它们是恒定的为了全部 圆圈。 在 事实 欧几里德的 结果 是的 完全正确 这个。 即使 不过 从 a 合乎逻辑的 点 的 查看方程C/2r=pi;和A/r2 =pi;与方程C=2pi;r和A=pi;r相当2朗指出，从教学角度来看，它们是不一样的。

从C和A与r和r成正比的概念开始2分别导致a利用非平凡的相似性概念实现合理性的自然路径。 朗拿了一个 简单的例子首先-相似矩形的扩张-作为一种方法来确定推理可能如何进行。

在第一章，什么是pi;i，Lang向他的学生展示了当一个矩形被一个因子r扩张时， 它的面积就会改变一个因子r2. 他 那么重复的进程，但是 这个时间到了与 a 随机的 弯曲的 数字。 他 继续说他的说话通过谈判 的 事实 那个 a 半径r的圆是半径1的圆被因子r的膨胀。事实上，这一说法显然相当于欧几里德的上述命题，即对于一个圆，面积是与r成正比2。 朗和他的学生得出结论，半径r的圆盘的面积是R2A， 其中A是半径为1的圆盘的面积。 他们将pi;定义为该光盘的区域(即A)。 因此，半径r的圆盘的面积现在是pi;r2.

后来，朗用正多边形近似圆。 多边形面积的计算结合了在圆的中心有一个顶点的三角形的面积和在多边形的每一边的边缘剩下的两个。 通过测量多边形的周长计算周长(图2).

n

重复了n次。让我们叫它的基地bn它的高度h 。 然后他们2就放手了的多边形的边 数n趋于无穷大，得到圆周长度和圆内面积的近似。 因此， 我们在三角形中有相似之处

2近似圆的面积。这张照片来自朗

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Sci amp; Educ (2014) 23:61–77 DOI 10.1007/s11191-013-9643-0

How Archimedes Helped Students to Unravel the Mystery of the Magical Number Pi

Ioannis Papadopoulos

Published online: 11 August 2013

copy; Springer Science Business Media Dordrecht 2013

Abstract This paper describes a classroom experiment where students use techniques found in the history of mathematics to learn about an important mathematical idea. More precisely, sixth graders in a primary school follow Archimedesrsquo;s method of exhaustion in

order to compute the number p. Working in a computer environment, students inscribe and circumscribe regular polygons inside and around a circle in order to find the approximate area of the circle. They then compute the ratio of that approximation to the area of a square with side-length equal to the radius of the circle. This ratio indicates how many times larger the area of the circle is than the area of the square. Mirroring Archimedesrsquo;s findings, students discover that as they increase the number of sides in their polygons, the numerical results they obtain convince them that this number is almost equal to 3.14.

In the last few years the research community has been increasingly interested in the inclusion of the history of mathematics in mathematics education. However, according to Siu and Tzanakis (2004), most of the contributions to the research literature remain at a theoretical level. In the same spirit Jankvist (2011) in his review of The First Century of the International Commission on Mathematical Instruction (1908–2008): Reflecting and Shaping the World of Mathematics Education, edited by Menghini and associates points out that lsquo;lsquo;while plenty of the volume deals with the history of mathematics education, there is little or nothing on the role of history in mathematics education.rsquo;rsquo; Teachers need examples showing: (i) how the history of mathematics leads them to develop a broader repertoire of mathematical profi- ciencies, and (ii) how history in teaching mathematics enables understanding and enables recognizing the role of history in the development of mathematical understanding (Clark 2012). Clark goes on to add that few if any such efforts have investigated how the history of mathematics contributes to the teaching of mathematical knowledge. On the other hand, there exist a plethora of anecdotal reports by primary teachers, who have found success in the

I. Papadopoulos (amp;)

Aristotle University of Thessaloniki, Thessalonacute;ıki, Greece e-mail: ypapadop@otenet.gr

practice of connecting the history of mathematics to the study of primary arithmetic (Michalowicz 2000).These anecdotes and the few papers that have been written about implementing such ideas in the education, including Smestad (2012), and Kjeldsen and Blomhoslash;j (2012), make it clear that the approach can be productive. There is a need for more empirical investigation to better understand the most effective approaches and the range of mathematical ideas that can be effectively taught using the history of mathematics as a springboard in learning and teaching.

Responding to this need, this paper presents an empirical investigation of a teaching experiment based on the method of exhaustion of Archimedes for computing p. This experiment was motivated by a question posed by a student: lsquo;lsquo;Why is [p] almost 3.14 and not almost something else, such as 3.13 or 3.15?rsquo;rsquo;

If the question had remained unanswered, this would have left students with the impression that the discovery of important mathematical ideas such as this one are the products of the instant insights of an extraordinary mind, rather than the product of sys- tematic investigation open to anyone willing to acquire necessary skills and do the sys- tematic work of mathematical exploration. Moreover, if the concept is presented as a fact isolated from its original context, students are deprived of the important insight into how a person can figure out that mysterious number.

Using the terminology of Jankvist (2009) the aim of this teaching experiment was twofold: to use history-as-a-tool and, at the same time, to use history-as-a-goal. For the former, history becomes a motivating factor for students in their learning and study of mathematics; for the latter, the goal is to show the students that this mysterious number existed and evolved in time and space and has undergone an evolution, and that it is not something that emerged instantly. Because of the age of the students (primary school students), this experiment let them work with the topic at an informal level, previewing formalization that is more appropriately done at an older age (Furinghetti 2002). The teacher-researcher decided to follow this approach based on his conviction that it is important for young students to witness the development of concepts and to experience the interplay between rigor and imagination in the construction of mathematical ideas (Guli- kers and Blom 2001). Helping young students understand the doing of mathematics is essential to the development of mathematical learning.

The number p occupies a unique place both in the history of mathematics and in mathe- matics education.

In the history of mathematics, p has been defined as both the ratio of the circumference of a circle to its diameter and the ratio of the area of a circle to the area of the square with the side length equal to the radius of the circle. For both cases, p has been the epicenter of a search by many mathematicians from all nations since ancient times.

In mathematics education, the deeper one goes into p, the more mysterious it becomes (Galton 2009). Initially, it is met during prim

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1. 课堂实验
   1. 实验环境
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2. 1. Prologue
   1. Introduction