使用几何画板进行探索、猜想和享受外文翻译资料

使用几何画板进行探索、猜想和享受

原文作者： Scott Fallstrom· Marion I. Walter

专业： 数学与应数学（师范）

摘要：许多年过去了，在我访问EDC（教育发展中心）的时候，Paul Goldenberg和Al Cuoco给我看了他们正在使用的新几何程序. 在他们的帮助下，我用中位数构造了我的第一个数字三角形. 这似乎并没有太有趣，因为我在纸上做了这么多次，所以我问如何构造三等分点而不是中点. 在将每个顶点连接到相对侧的三等分点之后，六边形出现在中心. 我想知道三角形面积和六边形面积的比值是多少. 他们向我展示了这个程序是如何很容易地找到每一个区域的. 我们都很惊讶，这个比率保持恒定值，而三角形的任何顶点都被拖动了，而且这个常数比原来是1/10. AL和保罗亲切地把这个猜想命名为“Marion Walter（MW）定理”（Cuoco et al. 1993）. 许多已经创建的相关的文章和网站与此猜想有关（Morgan 1994; Skinner 1995; Watanabe等. 1996; Silahtar和Tezel 1997）.

关键词：几何画板； 史葛反应； 中点运动；三角形

1 个人笔记

我很惭愧地说，我有一个Geometer画板（GSP）的副本很长一段时间没有安装它（JAKIW 2006）. 最后，当我在十月得到一台新电脑时，我的新同事Scott Fallstrom为我安装了这个程序. 幸运的是，我参加了两次他对学生使用GSP的精彩介绍. 所以在他安装它之后，我说我想尝试另一个新的定理！在一些不成功的尝试，创造一个新猜想，使用蛮力在圆圈和周界的一些三角形，我们称之为放弃. 他离开后，我不得不再玩一些，但是很简单. 于是，我开始做一个正方形，构造两边的中点，并把每个顶点连接到不相邻的边的中点. 在正方形的中间形成八边形（图1）. 后来我意识到，我已经写了一张类似的图片（沃尔特2001），米尔纳在这里展示了如何使用图表来把正方形分解成矩形，这些区域的面积是二分之一，三分之一， Onfulthh，和一平方英尺的面积（米尔纳1996）. 我用GSP来计算八边形面积与正方形面积的比值. 在这种情况下，比率原来是1:6，并且不需要拖曳顶点，因为原来的形状是规则的. 一个新猜想诞生了. 我立即给保罗、Al和史葛发了一封电子邮件，询问这是MW定理的“表兄弟”，如果这个猜想是众所周知的. 保罗建议，当中间点沿两侧移动的速率相同时，检查比率. 这个快照描述了这个非常简单的结构的结果，以及我的同事史葛非常关注的许多探索、猜想和惊奇. 我希望读者能体验到我们的乐趣.

2 史葛反应

在收到玛丽恩关于广场和它的中点创造出如此美妙的比例（1:6）的电子邮件后，我只需要开始探索与此相关的新想法. 我创建了正方形和两边的中点，但是除了八角形之外，还突出了由片段的交点创建的许多其他形状. 在RST，我决定只使用连接中点到顶点形成的线段. 在这些条件下，获得了不同形状（面积和外面积的面积）之间的比值. 在下面的图表中，我发现了面积比为1:2、1:3、1:5、1:6、1:15、1:40、1:120、3:5和7:30（不是上午时间）的形状（见图2）. 在写了这个快照之后，我们想知道学生们将如何从GSP提供十进制结果的比率，这是在快照结束时讨论的.

除了上面所示的那些以外，你还能看到形状吗？你能看到与上面显示的比例相同的其他形状吗？

图1 通过将中点连接到正方形顶点形成的八边形

图2 面积比为1:2. B面积比为7:30. C面积比为1:3. D面积比为1:5. E面积比为1:5. F面积比为1:6. g面积比为1:5. H面积比为1:120. I面积比为1∶15. J面积比为3:5. K面积比为1:40. 轮到你了！

3 在广场上加入更多的积分

后来，我通过加入相邻的中点构造了几个附加的虚线段，这形成了另外的形状，其中一些在图3中示出. 令人惊讶的是，这些新形状中的一些形成了与以前相同的比率，但也形成了一个新的比率（1:24）.

通过在上面所示的点之间构建更多的线段，将会出现更多的形状和比例，从而产生更多的交点，从中可以产生更多的线条；过程是无止境的！

我立即把结果发给了玛丽恩，他开始问更多的问题. 有些问题是：“我们还能创造什么别的比率呢？”，“我们可以1:4或1:7吗？”，以及“可以创造多少其他单位比率？”我们计划在星期五下午合作并发现更多的信息.

图3 面积比为1:40. b面积比为1:24. C面积比为1:120

4 寻找1:4

我们一直想知道一个1:4的形状在哪里，或者它甚至存在于我们的广场上，而最长的时间，我们就是一个也不能. 我们继续观察越来越多的形状，但没有一个是精确的1:4. 我们还尝试不成功地结合相邻的形状，看看是否有任何给了我们难以捉摸的1:4. 在搜索1:4时，我们也搜索了1:7的比率，这似乎从我们的1：N序列中消失了. 最后，通过一个UKE，我们注意到一个符合条件的直角三角形，显然是1:4（图4）. 玛丽恩觉得这种形状并不是以前绘制的形状的优雅形式. 为了深入探讨美学在数学学习中的作用，请看“接吻三角形”（辛克莱2002）. 几个月后，在写这张快照时，我们又看了一遍照片，史葛注意到菱形（图5）. 它不是最初在图2中考虑的形状之一，我们都想知道这些区域的比例hellip;hellip;是否可能是1:4？有一个相关的形状，缺少两个风筝作为菱形（图2g）；该区域的面积比为1:5. 我们推测，菱形的面积比接近1∶4. 而且，既然世界上有正义，那就是1∶4.

注意，到目前为止，创建的所有几何图形都已关闭. 如何形成和检查形状不封闭的那些有一个洞在中间？当我们发现在“神圣”形状的面积比为1:3时（图6），我们停止了寻找.

图4 面积比为1:4

图5 面积比为1:4

图6 面积比为1:3

5通过中点运动创建新的形状

保罗曾建议探索当每一点移动到与顶点相同的距离时会发生什么. 真是个好主意！为了能够一边移动一个点，同时在其他三个边上有相应的点移动相同的距离，可以使用来自GSP的旋转命令. 创建一个正方形，然后在另一边旋转一个附加点，使我们可以在一个新的图表中看到保罗的想法. 然后将顶点连接到非相邻边上的点上. BC的中点被标记，但在图7, 8和9中没有标注.

图 7 G从B到C的方式是3/7，B是G从B到C的1/2，G是从B到C的4/7.

图 8 当G沿着BC移动时，三角形TUV会增长.颜色出现在在线版本中

图 9

G移动时形成的2组三角形.颜色出现在在线版本中.TUV为紫色，VWX为蓝色，以供参考.

我们的结构的性质允许我们沿着一个方向拖曳G点，而相应的点也沿着所有其他方向以相同的方式移动. 这一运动为我们提供了新的形状和用途，而不是仅仅看我们先前创建的静态图片. 当我们把点G沿着正方形的一边移动时，我们注意到中心的八边形变成了正方形. 好奇这个变化发生的时候，我们想知道这个点的位置有多远. 我们猜错了，你能猜到吗？八边形在从B到C的距离的转换成正方形（图7a）. 看到这之后，我们得出另一个点在4/7的侧长度（图7c）. GSP CON是这样做的，必须是这样的，因为从一个顶点的4/7与另一个顶点的3/7处是相同.

想象点G沿着BC移动，穿过图7b的中点. 当点G沿着侧面移动时，观察小紫色三角形TUV的变化（图8a、b、c）. 这个三角形看起来特别吗？有可能它总是一个直角三角形，并且有三个三角形与它（紫色）一致，四个（蓝色）与它相似，但并不总是与三角形TUV一致（见图9）. 紫色三角形是直角三角形，它们总是一致的，你感到惊讶吗？你能证明蓝色三角形与紫色三角形相似吗？什么条件会使所有的三角形一致（注意：这个条件与BC上的点G的位置有关）？当G在3/7和4/7之间的边长时，在中间产生八边形. 当紫色三角形邻接八边形时，形成一个正方形（图9）. 这个正方形UIMQ面积与八边形面积有什么关系？使用蓝色三角形重复前面的问题，因为当它们与八边形邻接时形成一个不同的正方形. 八角将消失在G的两个位置；在这些点上，一个三角形的颜色完全消失. 在每一种情况下，试着建立正方形区域与外部（原始）正方形之间的关系. 此外，当点G被推到侧边长度的3/7和4/7时会发生什么？然后在中心形成什么形状？

在看到7分母后，我们寻找一个1:7面积比的形状. 我们预期能够达到1:7或至少N∶7的比例，特别是因为3/7和4/7的时间在确定八边形成为正方形时非常突出. 仍然不成功，我们希望读者帮助我们找到这样的形状.

6 检查三角形

我们在最后几张图中观察了三角形TUV（图8和9）因为它们在八边形到正方形变换的创建和崩溃中扮演着关键的角色. 我们好奇地想看看我们能否发现这些三角形的特殊特性，所以我们决定进一步探索. 我们开始猜测三角形TUV的边数之比. 玛丽恩认为它可能变成一个等腰三角形，因为G是沿着侧面移动的，史葛认为在某个点上它看起来像一个3-4-5三角形. 你认为谁是正确的，或者他们都是正确的hellip;hellip;或者两者都不正确？

当G在正方形的中点时，蓝色和紫色的三角形变得一致. 然而，基本角度不是45度，所以玛丽恩的初始猜测是错误的，除非我们考虑当G在顶点B或C时形成的三角形. 我们使用GSP计算侧长度及其对应的比率，以确定是否形成3-4-5三角形.

用GSP计算的初始电流比为UT:UV＝0. 75＝3:4，UT:TV＝0. 6＝3/5，UV:TV＝0. 8＝4/5. 这意味着当点G在中点时，TUV是3-4-5的三角形！我们知道3-4-5三角形发生在中点，我们应该知道吗？但这仅仅是个开始. 因为当G点向上和向下移动时，GSP上的比率立即重新计算，我们可以观察到变化的图片和比率是如何相关的. 我们想知道发生了什么事. 通过“动画”这一点，我们可以在观看屏幕上的比率和形状之间的任何可能的关系的同时，不断地观察比率的变化. GSP的动态方面，显示了随着点移动而不断变化的比率，使我们能够推测. 你认为这些比率会发生什么？这些比率有最大值/最小值吗？如果是，它们何时发生与G点有关？

当观察G点移动时，很明显，当G接近顶点时，TUV的侧长度之比接近极限值. 此外，这些数值接近一些我们熟悉的数字. 两个比率接近0. 707，而另一个接近1. 这对三角形TUV有什么解释？当G与顶点重合时才是等腰！

当TUV边长的比率在变化时，你能看到两个比值相同的点吗？史葛注意到，在G的一个位置，另外两个比值实际上是相等的. 这两个比值代表切线和代表三角形TUV的一个角余弦的比率. 至少可以这么说，这很有趣，我们猜想什么特殊三角形会产生这样的结果. 您是怎么想的？你怎么能发现三角形中形成的角度的度量呢？我们从来没有问过自己：“哪个角度的余弦等于它的切线？”这个问题鼓励史葛拿出Ti-83计算器来目测这可能发生的情况. 由计算器提供的角度的数值近似没有给我们关于角度的许多信息，所以我们决定研究方程cos() = tan()代数.

经过一点三角化和代换，我们着眼于二次方程式！

cos()=tan() rArr; cos²()=sin() rArr;1—sin²() = sin() rArr; sin²() sin() —1 =0. sin()= x yields x² x—1=0. 即使这样，我们也没有看到这个方程的重要性，直到它被完全解决. 这里有x的两种解法，；当你看到这些价值观时，你会想到黄金比例吗？我们的两个解的加法逆是，后者是黄金比例！由于sin()=x，则arcsin(x)=，并且有两种解，其中一个是黄金比例的加法倒数！

谁会想到黄金比例潜伏在方程式cos()=tan()中？我们不希望看到黄金比例出现，而只是调查某个角度在一个正方形. 可能是一个直角三角形，具有一个锐角，其中cos()=tan()，可以称为黄金角三角形，因为“黄金三角”已经被用来命名任何等腰三角形，黄金比例的边.

7进一步探索

我们只描述了我们进行的一些探索. 我们的工作引导我们探索另外的“什么是IF”和“什么是不存在”的问题，这些问题与我们先前的猜想有关（布朗和沃尔特2005）. 我们想知道对于我们发现的许多猜想，正方形的属性或属性是必要的和/或是必要的. 因此，我们通过否定正方形的一个属性来创建不同类型的四边形. 我们创建和探索的其他形状是：四边形，两边不平行，一个没有相等的边，另一个没有四个直角. 三角形的性质对于所有三角形都是成立的，无论形状如何，都是不变性. 这让我们想知道数学数学课程中引入了不变量，至少对于几何图形的话题.

当我们选择否定四边的属性时，我们发现自己考虑规则六边形、五边形和八边形. 当我们看规则六边形时，我们必须决定哪些顶点可以连接顶点，因为现在有几个选项. 当我们画出每个顶点与相邻顶点相邻的中点的段时，新形成的十二边形与外六边形的面积比为1∶14. 我们希望，如果我们用类似的方式来探索五角大楼和八角形，我们就能在分母中得到一个很好的整数. 免得读者认为我们的每一个想

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