不等式字典外文翻译资料

本科毕业设计（论文）

外文翻译

不等式字典

作者：Peter Bullen

国籍：Canada

出处：CRC Press

中文译文：

1 阿贝尔算法

阿贝尔不等式

(a)如果是n元组，且是单调的，那么

(b)设是n元组且有那么

(c)如果是的共轭指标，且是正序列，则

(1)

(d)如果是复n元组，且是非负数的一个递减的n元组，则有

如果是一个递增的非负数序列，则有

注释 (i) (a)被称为阿贝尔引理，是阿贝尔变换或求和公式的简单结果，是序列的“分部积分公式”：

(2)

(ii)如果是非负的，并且是递减的，那么我们得到了比(a)更简单的结果，称为阿贝尔不等式：

(3)

如果是一个递减的n元组，且有

其中，那么有

(4)

(b)(i)根据上述(b)的假设

当且仅当对于某些时等号成立。

(ii)根据上述(b)及正序满足等式

注释(iii)最后一个不等式归结为(1)代入所有的.

(iv)参见:积分不等式离散模拟。

相关的结果(a)如果是n元数组，且， 那么有

(b) 如果是非负序列，且递减，那么

注释(v)这个最后的结果后面是(2)的两个应用，与斯蒂芬森的不等式(b)有关。

(vi)布罗姆给出了(3)和(4)的类似积分;参见积分中值定理(b),注释(ii)。

(vii)这个结果的应用参见斯蒂芬森的不等式，注释(iii)。

阿比库扎姆不等式

如果A, B, C是一个三角形的角，那么

当且仅当三角形是等边三角形时等号成立。

绝对单调函数不等式

(a) 如果，且是绝对单调的，那么

(b)如果在上是绝对单调的，那么

(c) 如果在上是绝对单调的，那么

并且

(d) 如果是满足的整数的非负n元组，且在上绝对单调，对于满足的等式，有

注释(i) (a)是绝对单调的定义。

(ii) (b)是(Č)或(GA)的积分类比的一个简单推论，也是一类众所周知的绝对单调函数的积分表示。

(iii) (c)中的第一个不等式是 (d)中的第一个不等式的推广。

(iv)参见:完全单调函数不等式。

绝对值不等式

(a) 如果，那么等式左边当且仅当时成立，

等式右边当且仅当时成立。

(b)如果，那么

(c)如果，那么当且仅当时等式成立。

(ii)

(iii).

当且仅当时等式成立。

(d)如果，那么

当且仅当在和之间时等式成立。

注释(i)在绝对值定义中情形的基础上证明:

或者(c)(iii)由(c)(i)中引申而来，利用定义

同时，由(1) 发现，(d)是(T)的特例，

(ii)条件可以写成，参见:三角形不等式(A)，(B)。

扩展

如果那么

当且仅当所有非零有相同的符号时等式成立。

(b)若且，那么

注释(iii) 当时，可以得到式子(4)的右边。

(iv)如果取(b)中的数为复数，且满足时，此时(4)中的上界为。

(v)参见:复数不等式(A)、(B)、扩展(A)、三角不等式。

Aczeacute;l amp; Varga不等式

如果是n元组，并且，那么

当且仅当时等式成立。

注释(i)这个结果可以看作是(C)在非欧几里得几何中的一个类比。这个空间叫做洛伦兹空间，这个不等式有时也叫做洛伦兹不等式。

(ii) Aczeacute;l不等式可以被用来证明Aleksandrov-Fenchel不等式。

扩展

如果是共轭指标，并且是n元组，满足那么

如果的话，那么（sim;1）可以保持。

(b) 如果,或者,并且是n元组，满足，那么

如果的话，那么（sim;2）可以保持。

注释(iii) Aczeacute;l and Popoviciu 所得到的结果可以从Jensen-Pečarić不等式推导出逆向不等式;类似的结果见Alzer的不等式(E)伪算术和伪几何平均值。

(iv) Bellman的结果是从(M)中除去的。

(v)在参考文献中可以找到处理所有这些不平等的统一方法。

Adamovć的不等式

如果所有的因子都是正的，则下列不等式成立:

当且仅当是常数时等式成立。

注释(i)这个不等式是由Klamkin 推广的。

(ii)如果a,b,c是三角形的边且n =3时，有

这就是著名的帕多亚不等式。

Agarwal不等式

如果并且

那么有

注释 右边的数值常数的最佳值是未知的;但它大于

Ahlswede-Daykin 不等式

令 这里X是一个分配格，如果对所有 ,都有 (1)

那么对所有的，都有

注释 这也称为四函数不等式，这是一个相关不等式的例子；参见霍利不等式。

交替和不等式

如果是一个n元组上的非负函数，每个变量都在增加，如果是两个这样的n元组，并且有，那么

其中的和是所有非负整数的n元组，且满足

注释 参见:Opial不等式(B)， Szego不等式。

Alzer 不等式

(a)如果是在上的有界二阶导数，那么

(b)如果 那么

左边的常数是最好的。

(c)如果是满足 的实序列且 ，那么

(d)如果 ，那么

(e)[伪算术和伪几何平均值]如果是正n元组,且被定义为

(1)

那么 (2)

当且仅当是常数时等式成立。

注释(i) (a)是以下式子的一个简单结果

对于一些;这种表示法是在n元凸函数不等式(1)中定义的。

(ii) (c)指Szekely,Clark amp; Entringer不等式(a)。

(iii)不等式(d)是Alzer由(C)拓展而来的。

(iv)式(1)中的量称为伪算术，是的n阶的伪几何平均，权值为。

(v)不等式(2)是Jensen-Pecarić不等式逆向不等式的一个简单演绎。

(vi)不等式(2)是这些伪平均值(GA)的一个类比，并且扩展了popoviciu和Rado-type；其中还有一个范氏不等式的类比。不等式是Aczeacute;lamp;Varga(C)的一个对比。

拓展

如果是凸面的，如果是共轭指数，则

注释(iv)上面是 的情况。

(v)参见Minc-Sathre不平等评论(ii)。

(vi)阿尔泽还有许多其他的不平等。

解析函数不等式

(a)如果在D中解析，且 ，那么

(1)

(b)如果在D中解析，且有 则有

(c)如果 是有界的且在D中解析，满足且有那么：

其中K是一个绝对常数。

注释(i)如果（1）中，则存在且其是有限的。如果，则是空间上的常量，这可以由(b)得到可靠的证明；(b)是(M)的一个简单推论。在哈代解析函数不等式中会给出的更进一步的性质。

(ii) (a)和(b)中的结果很容易推广到调和函数。

(iii)与(c)中的第一个不等式相反，在这个意义上，如果

那么就有

(iv)参见:面积定理、比伯巴赫猜想、布洛赫常数、勃勒-卡拉狄亚不等式、柯西-哈达玛不等式、柯西变换不等式、变形定理、全函数不等式、伊尔-里兹定理、加布里埃尔的问题、奥勒姆，朗道常数，列贝德夫-米林不等式、李特伍德-帕利不等式、最大模原理、弗拉格曼-林德洛夫不等式、Picard-Schottky定理、旋转定理以及从属不等式。

Andersson不等式

如果是输送量和递增量，并且则有

（1）

当且仅当某些等式成立。

注释(i)要满足条件可以取同时.

扩展

如果将函数的条件替换为并且,则不等式(1)成立。

注释(ii)如果,则,但不是凸函数。另一方面，如果满足主结果的条件，则，所以.

Arc Length 不等式

如果是连续的，且在上有界，L是曲线的弧长，那么就有

当且仅当是绝对连续的时候左边的等号成立;当且仅当几乎处处成立的时候右边的等号成立。对于一些集合A、B，满足,我们就有.

面积定理

如果是中的单量，并且，那么有

注释(i)该结果的名称是通过区域外的计算证明而来的。

扩展 如果是解析的，并且在中是以为单变量的，并且满足则有

注释(ii)参考:Bieberbach猜想。

算术基本不等式

如果,那么

如果，且那么就有，我们就可以写成.

如果 且,那么就有,且有

(d)如果，且，那么就有.

(e)如果，且，那么就有

(f)如果，那么就有

(g)如果,那么就有

注释 (i) (a)是不等式的定义，所有其他结果都是由此推出的。

(ii)这些不等式称为严格不等式，并且我们还可以有如下扩展。

扩展

如果，那么有：

如果，且有，那么有

当或者时等号成立。

(c)如果且，或者，则有

(d)如果那么有

当且仅当时等号成立。

注释(iii)参见:指数函数不等式(a)。这些不等式中的大多数可以通过归纳推广。

扩展(e)如果，那么有

如果至少有一个不等式是严格的，那么这个不等式是严格的。

(f)如果,那么有

注释(iv)参见：中介不等式(a).

算术平均不等式

如果是正n元组，那么有

当且仅当是常数的时候等号成立。

[DIANANDA]如果是正n元组，使得对于某个真整数，，那么就有

特别地，如果，那么就有

此外，当且仅当所有元素都是整数的时候，等式(2)左边的等号成立。

如果是一个实n元组，那么有

如果是递增的正有序数，且满足是共轭整数，那么有

如果，那么有当且仅当是常数的时候等号成立。

如果是一个正n元组，那么有

注释(i)卢帕斯提出了(c)的变形。

(ii)不等式(d)是一个常见的不等式；参见常用不等式。

(iii)不等式(f)可以通过舒尔凹性来证明；参见舒尔凹函数不等式。

扩展[柯西]

如果是正n元组，那么有

注释(iv)不等式(1)及其以上扩展，是大多数均值所共有的性质；参见平均不等式(1).

扩展

积分模拟[FAVARD] 如果在上并且是凹函数，那么有

注释（v）最后一个不等式是法瓦尔德不等式的一个极限情形。

（vi）关于基本不等式（1）的积分模拟参见积分中值定理（a）。

（vii）参见：二项函数不等式(J)，塞比塞夫不等式，凸序列不等式(D),几何算术平均不等式(5),格鲁西斯不等式(A)离散类比, 调和平均数不等式(C)以及评论(V),递增函数不等式(2)以及延伸(V)康托罗维奇不等式，卡拉马塔不等式，列文森不等式，对数平均不等式推论(B),(C),延伸（A），米特里诺维奇与多科维奇不等式延伸，混合平均不等式特例（B），缪尔黑德对称函数与平均不等式注释（II），南森不等式，n元凸序列不等式（B），延伸，统计不等式(C).

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