学生数学问题提出能力与数学内容知识 关系的调查研究外文翻译资料

学生数学问题提出能力与数学内容知识

关系的调查研究

Xianwei Y. Van Harpen amp; Norma C. Presmeg 美国伊利诺斯州立大学

摘要：重视学生数学问题提出能力已经在美国和中国的K-12课程中强调。研究表明提问活动对于发展数学创造性的方法是有用的。同时，也有研究表明学生的数学内容知识与数学的创造力高度相关。本文调查了美国和中国高中学生数学内容知识、数学问题提出能力、数学内容知识与数学问题提出能力之间的关系。

关键词：提出数学问题； 数学问题提出；比较研究；相关性

1背景

近几十年来，数学问题作为发展学生数学理解的重要策略，引起了数学教育工作者和研究者的关注（例如，英语，1997）。根据国家数学教师委员会（2000），学生应该有机会解决数学问题，采用多种解决方案的策略，从给定的情况制定和创建自己的问题。中国的教育部基础教育数学课程发展学生（2002）也提出，在解决问题和提出问题的学生应强调学生要学会从数学的背景发现问题和提出问题。研究人员（如Silver，1997）声称，指令涉及解决问题和提出问题的任务可以帮助学生发展数学更有创造性的方法；同时，在中国的教育工作者（例如，张，2005）反映了对数学教育在过去并声称数学内容知识与创造性思维能力数学的高度相关。中国的教育工作者建议教育改革者应该尽量避免提高数学内容知识成本学生解决问题和提出问题的能力。

在文献中，对问题提出能力和特殊的数学能力之间的关系进行了探讨。例如，krutetskii（1976）和伊勒顿（1986）对提问能力的受试者在不同数学能力的水平上进行了对比。在数学“天才”Krutetskii研究的用一个问题提出的任务中，有一个不成文的问题（例如，“一个学生买了2times;笔记本在一个商店，又买了1.5倍。”），并要求学生提出问题，然后回答从给定的信息回答问题。Krutetskii认为，有一个问题，“自然地遵循“从给定的信息，他发现，能力高的学生能够“看到”这个问题并直接提出；而能力较低的学生需要提示或无法提出问题。在伊勒顿的研究（1986）中，要求学生提出数学问题，为朋友解决困难。她发现，“更能干”的学生提出的问题有更大的计算难度（即，更复杂的数字，需要更多的操作解决方案）比他们的“不太能干”的同龄人。这些发现似乎支持了中国教育工作者（例如，张，2005）主张的在培养学生的数学创造力的内容知识的重要性。

最近，有尝试探索数学知识内容和提出问题之间的关系，例如在中国和美国的背景下提出问题的能力，Cai和Hwang（2002）研究了在美国和中国的第六年级学生数学问题提出的能力，他们的研究结果表明，中国学生提出问题的能力不强和美国同年级的学生相比，虽然中国学生对数学内容知识学习的更好。然而，在不同文化背景下，高中生对数学问题提出的能力和态度却知之更少。事实上，总体而言，对问题提出的研究大多数都集中在职前教师（例如，Akay＆Boz，2009）。关于那些与学校学生进行的研究，他们大多集中在小学水平（例如，Priest，2009）。从高中毕业的学生有很强的数学背景，很可能成为下一代的数学领域相关的专业人士，在这项研究中，我们选择了在高中数学中以高级课程作为科目的学生。

本研究旨在探讨高中生数学内容知识与数学问题提出能力的关系。具体来说，

研究问题1：数学内容知识更强的学生他们的问题构成能力更强？

研究问题2：不同文化背景下学生数学内容知识与数学问题表征能力是否相同？如果不同，有什么区别？

2概念框架

2.1数学问题构建框架

Schoenfeld（1989）将数学问题定义为“学生所处的任务（a）感兴趣和参与，他希望获得一项决议；及（b）学生没有一个容易获得的手段来实现该决议”（118X.Y. Van Harpen，N.C. presmeg 87–88）。相比之下，学生们容易获得的数学任务并且能够解决解决常常被称为练习。在数学学习中，提出问题和提出习题都是潜在的有用的教学任务。在这项研究中，数学问题和数学演习没有区别，都被称为数学问题，因为研究人员希望鼓励参与者提出尽可能多的数学任务，因为他们可以没有太多的限制。然而，如果一个问题违反了Schoenfeld（B）定义的部分数学问题，或其中之一的答案是直接的，或答案已经在任务中陈述，我们将任务分类为一个简单的任务。

在目前的研究中，提出数学问题的定义在基础的数学经验过程中，学生构建具体的个人解释情况和从这些情况下制定有意义（即，不平凡）的数学问题（Stoyanova＆Ellerton，1996）。根据Stoyanova和Ellerton的数学问题构成框架，问题构成情况可以分为自由、半结构、或结构化。根据这个框架，一个问题形成的情况是学生被要求自由的从给定的，设计的或自然主义产生一个问题情况（见下面的任务1）。半学制当学生被给予开放情况，并邀请探讨这种情况的结构，并完成它应用他们以前的数学知识，技能，概念和关系经验（例如见下面的任务2）和构建问题构成活动时是基于一个特定的问题（例如参见任务3）。下面的任务1和2改编自Stoyanova（1997）的论文，任务3改编自论文的Stoyanova（1997）和Cai的研究（2000）。

任务1（自由拟题情况）：有10个女孩和10个男孩站在一条线。尽可能多的弥补问题，在可以使用的信息程度上。

任务2（半结构化问题提出的情况）：在下面的图片（图1），有一个三角形的内切圆。尽可能多地弥补一些与图片相关的问题。

任务3（结构化问题提出的情况）：昨天晚上，有个聚会，你表哥的房子，门铃响了10次。第一次门铃响了，只有一个客人来了。每次门铃响，三个客人到达比以前的铃响到达的位置。

（a）有多少客人将进入第十环？解释你如何找到答案。

（b）问尽可能多的问题，在某种程度上与这个问题有关。

图1为半结构化问题构建的情况示例

2.2 Guilford的智力模型结构

在1950年，Guilford和他的同事们推测，流畅性、灵活性、独创性，将创新的三个重要方面（Guilford，1959）。这些特点在Guilford的智力结构模型知名。Guilford认为智力因素主要分成两组的思维和记忆的因素，绝大多数都可以作为考虑因素。在这一组中，有三个部门出现认知（发现）因素、生产因素、评价因素。生产组可显著细分为一类收敛思维能力和一类发散思维能力。Guilford定义发散生产作为从给定的信息生成，这里强调的是从同一来源的输出变化（信息、创意、不同寻常的合成或观点）。发散思维范畴包括流畅性、灵活性、独创性和阐述性因素。思维流畅是指输出量。思维的灵活性指的是某种意义上的变化：事物的意义、解释或使用的改变、对任务的理解的改变、完成任务的策略改变或思维方向的改变，这可能意味着对目标的一种新的解释。思维的独创性意味着产生不寻常的、牵强的、遥远的或聪明的反应。此外，一个原始的想法应该是社会有用的。思维的精细化是指一个人使计划工作产生详细的步骤的能力。Guilford看到了创造性思维，明确涉及他归类为不同的生产。以上四个条件中流畅性、灵活性和独创性，是Presmeg（1981）和托伦斯（1988）创造力的核心维度。在这项研究的数据中，流畅性，灵活性和原创性分析了参与者所提出的问题。

3方法论

3.1参与者

根据Peverly（2005），即使在一个国家，中国的不同地点也可能不同在文化方面。因此，这项研究选择了来自南方一个大城市的学生中国和中国北部的一个小城市。大城市是上海。因为上海的文化和经济地位，它代表一切被认为是现代的中国，包括教育。截至2011年，上海有23,019,200的人口，胶州是山东省的小城市，那里孔子文化有着重大意义影响。截至2011年，胶州市的人口为843,100人。在中国，高中生被分为两股，即科学班和艺术班。科学学生在高中比艺术学生更高级的数学课程。 上海44个本研究的参与者来自两个11年级的科学班。胶州 55个参与者来自一个12年级科学班。不幸的是，只有一组美国参与者在这项研究，因为当时他们是唯一可用的研究参与者。在这项研究的30名美国学生中，有13名来自预微积分课（11年级）的学生和来自先进分班的17名学生微积分类（12年级），他们来自中西部一个镇，截至2011年，人口约52,722。本研究中的所有参与者都被视为采用高中高级课题数学。因为在中国签名的寄宿生，不满18岁的学生需要自选择。本研究的所有参与者均为18岁。

3.2措施和仪器

在本研究中，对学生进行了两个测试，一个数学内容测试和一个数学问题测试。在美国，数学老师对学生进行了数学内容的测试。问题构成测试由第一作者给出。每个试验的工作时间为50分钟。这两个测试都是在学生的普通数学班时期。

在上海高中，学生下午有一个50分钟的自学期。在里面胶州高中，学生在星期六有50分钟自学时间。两个测试在这些时期在各自的位置。在这两个地点，两个测试由数学教师给予学生。测试后，进行了访谈与选定的参与者进一步了解他们的思维过程。所有访谈由第一作者用流利的普通话和英语进行。

3.2.1数学问题测试

前面在数学问题提出框架部分提到的三个任务被包括在数学问题构造测试中。对中国学生进行试点测试和美国学生表明，10分钟是足够的学生提出数学问题为每三个任务。到10分钟结束时，所有的学生在飞行员测试跑出了想法。因此，在本研究中，学生被给予10分钟的工作每个三个任务。

3.2.2数学内容测试

本研究中数学内容测试的目的是测量参与者的数学内容知识，而不是为这项研究开发一个测试，研究人员改编了国家教育进步评估（NAEP）12年级数学评估作为数学内容测试，因为这种评估符合这一目的。根据国家教育统计中心（2009），NAEP是对美国学生的可以在各个领域唯一的全国代表性和持续的评估。 2005年NAEP数学评估12年级发布，可供本研究使用。NAEP评估内容的适当平衡以及各种认识方式做数学。12年级评估中的任务涉及四个数学内容区域：数字属性和操作，测量和几何，数据分析和概率和代数。

在数学内容测试的50个问题中，有9个关于数字和操作，16个关于测量和几何，16个关于代数，9个关于数据分析和概率。总之，由于本研究的参与者来自三个不同的地点与不同的数学课程和教学，基于讨论以上，NAEP评估的修改版本允许相对全面并对参与者的数学知识和能力基础进行公正考试。

3.2.3翻译问题

使用不同文化群体的测试常常导致争议（例如，Berry，Poortinga，Segall，＆Dasen，1992）。 为了消除翻译和文化问题这两个测试，几个试点测试与美国学生和中国学生进行了两个测试，121个学生的数学问题建构能力和数学知识。此外，英语版本的测试首先被翻译成中文。然后，中文版被另一个人翻译成英语。原本的英语版本与反向翻译版本进行比较，对差异进行修改和处理。

3.2.4访谈

通过访谈了解问题产生的程度。 此外，面试数据帮助研究人员找到问题是如何产生的，以便研究人员可以看到的差异三个样本之间的数学问题处理过程。

3.3数据收集程序

由于主要研究者（第一作者）位于美国，在中国的测试是由数学教师研究员指示。在美国，测试由研究员和数学教师管理。确保三个位置的参与者在测试中收到相同的指令，除了关于测试的指示之外，对参与者给出了额外的措辞。在教室里进行测试的老师只需要给学生时间。

数学内容测试根据提供的说明由NAEP评估开发人员进行分级。数学问题构成测试根据这项研究的研究人员开发的标题。在量规的开发过程中，两位作者审查了30名美国学生提出的所有问题，并讨论了他们的意见的差异。最终，两位研究人员都能够达成一致方法的标题。首先判断所提出的问题是否适当。不适当的回应被排除外。例如，对于第一个任务，诸如“孩子多大了？”或“他们彼此认识？”被淘汰。此外，缺乏足够的信息来解决它们的问题也从进一步分析中排除。例如，对于第三个任务，“有多少女孩和多少男孩在聚会上？”被淘汰。这两种类型的反应在本研究中被称为不适当的任务。也就是说，消除（不适当）问题（1）与数学内容无关；或（2）可以回答完全任意的答复，与给定的任务无关的。然后按照以下步骤分析剩余的：

1.将所有响应键入Microsoft Word文档并计数发生的次数。在计数问题的数量生成的每个组中的学生，同样的问题产生的相同组学生一次。例如，以下两个问题作为一个问题被归类为“给定三角形的三边，找到内接圆的面积”。注意下面的两个三角形是不正确的三角形，等边三角形或等腰三角形。等边和等腰三角形每个都有自己的类别。

问题1假设三角形的三边是2,3和4，找到内接圆的面积。

问题2考虑三角形的三边是5,6和7，找到的圆的面积。

一般来说，在这项研究中，只要两个或更多的问题有相同的数学结构和语境，即使他们的语言特征不同，他们也是认为是相同的反应。由三个不同的组产生的响应的学生分开，以便研究人员可以看到之间的差异组。

1. 分类回答。三组学生对数学的回应问题构成试验进行分类。原来，类别不一样对于三个样品。例如，在第二个问题提出任务中，胶州学生有一个名为“Dilation”的类别（例如，构造一个大小的两倍大的数字原始一个使用尺子和指南针），但美国学生和上海学生没有这个类别。 在每组学生产生的反应后分类，所有的类别合并为三个共同的标题（参见表4,5和6）。

3.

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外文文献出处：Educational Studies in Mathematics, v83 n1 p117-132 May 2013. 16 pp.

附外文文献原文：

An investigation of relationships between studentsrsquo;

mathematical problem-posing abilities

and their mathematical content knowledge

Xianwei Y. Van Harpen amp; Norma C. Presmeg

Abstract The importance of studentsrsquo; problem-posing abilities in mathematics has been emphasized in the K-12 curricula in the USA and China. There are claims that problem- posing activities are helpful in developing creative approaches to mathematics. At the same time, there are also claims that studentsrsquo; mathematical content knowledge could be highly related to creativity in mathematics, too. This paper reports on a study that investigated USA and Chinese high school studentsrsquo; mathematical content knowledge, their abilities in mathematical problem posing, and the relationships between studentsrsquo; mathematical contentknowledge and their problem-posing abilities in mathematics.

Keywords Mathematical problem posing , Mathematical content knowledge , Comparative

Study, Correlation

1 Background

In recent decades, mathematical problem posing as an important strategy for the development of studentsrsquo; understanding of mathematics has caught the attention of mathematics educators and researchers (e.g.,English, 1997). According to the National Council of Teachers of Mathematics (2000), students should be given opportunities to solve mathematical problems using multiple solution strategies and to formulate and create their own problems from given situations. In China, the Mathematics Curriculum Development Group of Basic Education of Education Department (2002) also proposed that studentsrsquo; abilities in problem solving and problem posing should be emphasized and that students should learn to find problems and pose problems in and out of the context of mathematics. Researchers(e.g., Silver, 1997) claimed that instruction involving problem solving and problem-posing tasks can assist students in developing more creative approaches to mathematics; at the same time, in China, educators (e.g., Zhang, 2005) have reflected on mathematics education in the past and claimed that content knowledge in mathematics could be highly related to creativity in mathematics. By saying that, educators in China were suggesting that education reformers should try to avoid improving studentsrsquo; problem-solving and problem-posing abilities at the cost of mathematics content knowledge.

In the literature, the relationships between problem-posing abilities and exceptional mathematical abilities have been explored. For example, Krutetskii (1976) and Ellerton (1986) contrasted the problem-posing abilities of subjects with different ability levels in mathematics. In Krutetskiirsquo;s study of mathematical “giftedness”, he used a problem-posing task in which there was an unstated question (e.g., “A pupil bought 2times; notebooks in one store, and in another bought 1.5 times as many.”), for which the student was required to pose and then answer a question on the basis of the given information. Krutetskii argued that there was a problem that “naturally followed” from the given information, and he found that high ability students were able to “see” this problem and pose it directly; whereas, students of lower ability either required hints or were unable to pose the question. In the study by Ellerton (1986), students were asked to pose a mathematics problem that would be difficult for a friend to solve. She found that the “more able” students posed problems of greater computational difficulty (i.e., more complex numbers and requiring more operations for solution) than did their “less able” peers. Those findings seem to support the Chinese educatorsrsquo; (e.g., Zhang, 2005) claim about the importance of content knowledge in fostering studentsrsquo; creativity in mathematics.

Recently, there have been attempts to explore the relationships between mathematical content knowledge and problem-posing abilities in the context of China and USA. For example, Cai and Hwang (2002) studied the mathematical problem posing of sixth graders in the USA and China, and their results showed that Chinese studentsrsquo; problem posing was not stronger than that of otherwise comparable US students, although Chinese students tend to do better in evaluations on mathematical content knowledge. However, much less is known about high school studentsrsquo; abilities in and attitude towards problem posing in mathematics in different cultures. In fact, overall, the majority of research on problem posing has focused on preservice teachers (e.g., Akay amp; Boz, 2009). With regard to those studies that were done with school students, most of them focused on primary school level (e.g., Priest, 2009). Since high school students with a strong background in mathematics are likely to become the next generation of professionals in fields related to mathematics, in this study we selected students who were taking advanced topics in mathematics in high school as subjects.

The purpose of the present study was to investigate the relationships between high schoolstudentsrsquo; mathematical content knowledge and problem-posing abilities in mathematics.

Specifically,

Research question 1 Are students who are stronger in mathematics content knowledge alsostronger in their problem-posing abilities?

Research question 2 Are the relationships between studentsrsquo; mathematics content knowledge and their mathematical problem-posing abilities in different cultures the same? If not, what are the differences?

2 Conceptual frameworks

2.1 The mathematical problem-posing framework

Schoenfeld (1989) defined a mathematical problem as “a task (a) in which the student is interested and engaged and for which he wishes to obtain a resolution; and (b) for

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