等边三角形的勾股定理外文翻译资料

等边三角形的勾股定理

作者：Andreacute;s Navas

国籍：智利

出处：《数学杂志》第93卷 第5期 第343-346页

中文译文：

纵观历史，勾股定理有许多不同的证明。这里我们提出另一个，它是非标准的，因为我们既不使用正方形也不使用多边形的相似性。接下来，考虑图1中的直角三角形，在它的每条边上都画有等边三角形。

我们将证明以下定理:

定理1

在图1里的等边三角形的面积和大的等边三角形的面积之和。

图1边上画有等边三角形的直角三角形。

我们用经典的重排方法证明了这一点。让A,B,C成为三角形的顶点，让a,b,c是对应的相对边的长度。旋转三角形△ABC逆时针旋转在顶点A，顺时针旋转在B。让,和，是这些变换下顶点的图像，如所示图2。

请注意

和

图2旋转的结果△ABC逆时针方向为A,顺时针为B。

因此，和重合。表示这一点D，我们有顶点A,B和D确定边长的等边三角形c。

另外，请注意△和△是边长的等边三角形a和b，分别。此外，三角形△和△都与三角形全等△，如所示图3。

图3我们的结构意味着△和△都是等边的。此外，△和△都与△一致。

现在，关于区域，我们有

在图片中，

这产生了

因此，我们要证明这一点

为此，请注意是边长的平行四边形a和b。还有，从和

我们有必须相等。此外，

同样的。因此，

如你所愿。

在上面的最后一步中，我们当然可以避免使用三角学，只要看看图4。实际上，有角度的平行四边形的高度和等于不被视为底边的边长的一半。这仅仅是因为三角形的角度，，和是等边三角形的一半。因此，它最小边的长度是最大边长度的一半。

图4求平行四边形面积的另一种方法

显而易见定理1暗示了勾股定理。

因为边长为1等边三角形的面积等于上面证明的等式可以改写为

这意味着毕达哥拉斯等式仅仅通过取消公共因子

事实上，如果我们从毕达哥拉斯恒等式开始，将每个项乘以。我们得到了建立在斜边上的等边三角形的面积与建立在腿上的面积之和的等式。因此，这两种主张是等同的。

最后，毕达哥拉斯的也意味着正则的面积n-边长的边c两个正则的面积之和n-边长的边a和b，分别见图5).如上所述，要看到这一点，用适当的常数(即正则的面积)乘以这个恒等式的每个项就足够了n-边长为1的边)。实际上，这种说法，对于任何给定的。也暗示着(因此它相当于)勾股定理，只是通过颠倒这个论点。

图5正则的面积n-边长的边c分别等于两个正则n-边长的边a和b。

当然，对于不同于等边三角形或正方形的正多边形，一个更具几何性质的证明是可取的。当然，在这个框架中，华莱士-波尔约-格文分解定理适用，因此应该有两个小的分解n-变成多边形碎片，重新排列后，产生更大的一个。然而，总的来说，所需零件的数量似乎相当大。

摘要

我们通过在直角三角形的每一边构造等边三角形来证明勾股定理。我们的方法不同寻常，因为它既不使用正方形，也不使用多边形的相似性。

感谢

我要感谢尼科莱·格塞尔画了这张纸条。

教师对新课标下八年级数学教材的看法

作者：Rıdvan Altundağ，Cemalettin Yıldız，Davut Kouml;ğce，Mehmet Aydın

国籍：土耳其

出处：《过程社会和行为科学》第1卷 第1期 第464-468页

中文译文：

摘要

本研究旨在揭示数学教师对2005 - 2006年第一次实施的小学数学新课程所编写的八年级数学教材的看法。本研究采用案例研究的方法。为了获得更深入的知识，使用了方便抽样。我们研究的数据来自对特拉布宗省不同小学的4名数学教师进行的半结构化访谈。研究结果表明，教师在寻找课本中活动所需的必要材料时遇到了困难，活动无法在人口过多的班级中有效实施。本研究以建议结束，因为教科书中活动所需的材料应该易于获取，并且活动的准备应该考虑到数学课的学生人数。

关键词:新小学教育数学课程；数学教科书；教师观点。

1.介绍

学校数学有两个主要目的:首先，这些目的是通过提高识字率来提高劳动力对工业、技术和日常生活的需求；第二，将那些从小就选择从事数学科学家工作的人塑造成数学家，从而将他们带入学术圈(叶鬼，2006)。尽管如此，数学通常被认为是一门难学难教的学科。学生通常认为数学“难”、“无聊”和“不吸引人”，而老师认为它是“难教”、“对学生不感兴趣”的科目。毫无疑问，以前的经历、偏见、学生的恐惧以及教师的方法、策略、态度和信念都会影响这种情况(Dayak，1998；Duman等人，2001年)。课本是继老师和黑板之后的第三个最常见的参考资料。事实上，在许多情况下，它是教学材料的唯一手段(科拉，2003)。教科书在教学工具中占有特殊的地位，应该具有适当的质量。

教科书最大的特点是为学生准备，然后是优越的特点，如提供详细的知识，描述不同知识之间的关系，使学生重复已知的东西，并提供强化。好的教材应该是怎样的？目前的教科书在多大程度上符合提议的目标？教科书应该期待什么？这些问题的答案有能力揭示初等和中等教育的质量(耶尔马兹等人，1998年)。调查教师对使用教科书的态度和他们对教科书的期望被认为是一个重要的课题，以便准备和更有效地使用根据新课程编写的教科书。为此，教科书的设计应该考虑到这些书应该具有的显著特征。相比之下，教科书不应该具有的属性也应该被考虑，并且这些缺陷应该在教科书中被去除或最小化(Kl和Seven，2004)。在此背景下，揭示教师对小学八年级数学教材的看法具有重要意义，该教材是根据数学新课程标准编写的，并于2008 - 2009年教学期间开始使用。

1.1.研究的目的

本研究旨在描述不同教育程度的数学教师对八年级数学作业的看法。为此，寻求以下问题的答案:

1.老师对八年级MTB的内容有什么看法？

2.老师对8年级MTB的视觉质量有什么看法？

3.老师对八年级MTB的语言和叙事有什么看法？

4.老师对八年级MTB的活动有什么看法？

5.老师对八年级MTB中关于测量和评价的章节有什么看法？

1.2.研究的局限性

本研究中的数据仅限于根据美国国立卫生研究院编制的8级结核分枝杆菌。

2.方法

本研究采用案例研究的方法。之所以选择案例研究方法，是因为它特别适合于单独实施的研究，能够对问题的一个方面进行深入调查，并且可以在较短的时间内完成(epni，2007年)。

2.1.研究抽样

根据研究设计采用了有目的的抽样，并寻求更详细和更丰富的数据。本研究的样本包括特拉布宗4所不同小学的2名小学数学教育项目毕业生和2名同一项目的研究生。根据我们的伦理考虑，参与者被编码为“K1、K2、K3和K4”。参与者的个人信息如表1所示。

表1:参与者的个人信息

	专业经验(年)	责任	教育水平	性别
K1	3	初等教育数学教师	研究生	女性的
K2	3	初等教育数学教师	研究生	女性的
K3	6	初等教育数学教师	本科	男性的
K4	6	初等教育数学教师	本科	男性的

2.2.数据收集和分析

本研究的数据是通过半结构式访谈收集的。首先，文献回顾和子问题的发展，根据审查的文件。然后根据子问题准备面试问题。由研究人员开发的访谈问题(也获得了专家的支持)是针对志愿教师的，他们认为志愿教师服务于研究的目的。

从采访中获得的数据首先被转录。研究人员多次阅读这些转录本，并在分析前对数据进行简化和编码。在对新出现的代码和现有代码进行再次检查后，对数据进行了审查。在下一步中，准备表格描述每个参与者陈述的代码。最后，确定代表这些矩阵中代码的类别。

3.调查的结果

3.1.关于子问题的发现

表2给出了教师对八年级数学学业不良内容的看法。

表2:教师对八年级数学作业内容的看法

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本科毕业设计（论文）

外文翻译

等边三角形的勾股定理

作者：Andreacute;s Navas

国籍：智利

出处：《数学杂志》第93卷 第5期 第343-346页

外文原文：

Throughout history, there have been many different proofs of the Pythagorean theorem. Here we propose another one, which is nonstandard in that we use neither squares nor similarity of polygons. To proceed, consider the right triangle in Figure 1, with equilateral triangles drawn on each of its sides.

We will prove the following theorem:

Theorem 1.

In Figure 1, the areas of the small equilateral triangles sum up to the area of the larger one.

Fig. 1 A right triangle with equilateral triangles drawn on its sides.

We prove this by the classical method of rearrangement. Let A, B, C be the vertices of the triangle, and let a, b, c be the lengths of the corresponding opposite sides. Rotate the triangle △ABC counter-clockwise by at the vertex A, and clockwise by at B. Let , and , be the images of the vertices under these transformations, as shown in Figure 2. Notice that

,emsp;emsp;andemsp;emsp;.

Fig. 2 The result of rotating △ABC counter-clockwise about A, and 60o clockwise about B.

Hence, and coincide. Denoting this point by D, we have that the vertices A, B and D determine an equilateral triangle of side length c.

Also, notice that △ and △ are equilateral triangles of side length a and b, respectively. Moreover, triangles △ and △ are both congruent to triangle △, as shown in Figure 3.

Fig. 3 Our construction implies that △ and △ are both equilateral. Moreover, △ and △ are both congruent to △.

Now, referring to the areas, we have

In pictures,

which yields

Hence, we are left to prove that

To do this, notice that is a parallelogram of side lengths a and b. Also, since and

,

we have that must equal . Moreover,

,

and similarly . Thus,

,

as desired.

In the last step above, one can certainly avoid the use of trigonometry just by looking at Figure 4. Indeed, the height of a parallelogram with angles and equals half the length of the side that is not being considered as the base. This is simply because a triangle of angles ,, and is half of an equilateral triangle. Hence, the length of its smallest side is half of the length of the largest one.

Fig. 4 Another approach to finding the area of parallelogram .

It is straightforward to show that Theorem 1 implies the Pythagorean theorem.

Since the area of an equilateral triangle of side length l equals , the equality proven above may be rewritten as

.

This implies the Pythagorean equality just by canceling the common factor.

Actually, if we start with the Pythagorean identity and multiply each term by , we obtain the equality between the area of the equilateral triangle built on the hypotenuse and the sum of those built on the legs. The two claims are therefore equivalent.

Finally, the Pythagorean identity also implies that the area of a regular n-gon of side length c is the sum of the areas of two regular n-gons of side lengths a and b, respectively (see Figure 5). To see this, as above, it suffices to multiply each term of this identity by an appropriate constant (namely, the area of the regular n-gon of side length 1). Actually, this statement, for any given ,also implies (and hence it is equivalent to) the Pythagorean theorem, just by reversing this argument.

Fig. 5 The area of a regular n-gon of side length c is equal to the sum of the areas of two regular n-gons of side lengths a and b, respectively.

Certainly, a more geometric proof for regular polygons different from equilateral triangles or squares would be desirable. Of course, in this framework, the Wallace–Bolyai–Gerwien decomposition theorem applies, hence there should be a decomposition of the two small n-gons into polygonal pieces that, after rearrangement, yield the larger one. Nevertheless, the number of required pieces seems to be quite large in general.

Summary

We prove the Pythagorean theorem by constructing equilateral triangles on each side of a right triangle. Our approach is unusual in that it uses neither squares nor similarity of polygons.

Acknowledgments

I wish to thank Nicoleacute; Geyssel for drawing the pictures of this note.

教师对新课标下八年级数学教材的看法

作者：Rıdvan Altundağ，Cemalettin Yıldız，Davut Kouml;ğce，Mehmet Aydın

国籍：土耳其

出处：《过程社会和行为科学》第1卷 第1期 第464-468页

外文原文：

Abstract

This study aims to reveal the mathematics teachersrsquo; views about the 8th grade mathematics textbook (MTB) prepared according to the new primary education mathematics curriculum (NPEMC) which took effect in the 2005 – 2006 education period for the first time. The study uses a case study method. Convenience sampling was used in order to obtain more in-depth knowledge. The data we examine came from the semi structured interviews conducted with 4 mathematics teachers working in different primary schools in Trabzon province. The results of the study are that the teachers experienced distress in finding the necessary materials required for the activities in the textbook and the activities could not be implemented effectively in the over-populated classes. The study ends with the recommendations as the materials required for the activities in the textbooks should be easily accessible and the activities should be prepared considering the number of students in mathematics classes.

1.Introduction

There are two main purposes of school mathematics: First of these purposes is to raise the workforce the industry, technology and daily life demands by incre

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资料编号：[595277]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word

种类	代码参与者	K1	K2	K3	K4
积极特征	包括新的主题
	包括简单的知识	-	-		-
	与日常生活息息相关	-	-		-
	内容的暗示和强化结构		-	-
	具有促进学习的结构		-		-
	教学大纲不同于其他书籍				-
	分配给主题的时间更多	-	-		-
	教学大纲将题目从简单到复杂排序	-	-	-
	补充6、7年级的内容。		-	-	-
	涉及信息技术应用的主题	-	-		-
负面特征	例子的数量和多样性不足	-			-
	涉及过难的例子	-		-