时空分数阶微分方程差分格式研究文献综述

文献综述（或调研报告）：

分数阶微积分是数学的一个重要分支，分数阶微分方程已成为描述各类复杂力学与物理行为的重要工具之一，被广泛应用于反常扩散、粘弹性力学、流体力学、电磁波、量子经济、分形理论等领域。然而分数阶微分方程的解析解很难显示给出，故对分数阶微分方程进行高效的数值模拟就很重要，国内外的许多学者在这一领域取得了卓越成就，比如以下一些研究成果：

高广花和孙志忠[1]对时间分数阶阶慢扩散方程中时间分数阶导数利用L1离散，对空间导数采用紧逼近建立了差分求解格式，证明了差分格式的唯一可解性和无条件稳定性，得到了离散无穷模下时间阶、空间四阶收敛的高精度结果。

张亚楠和孙志忠等[2]对一维时间Riemann-Liouville型的分数阶慢扩散问题建立了Crank-Nicolson格式，分析了格式的稳定性并给出了误差估计；对于二维的时间分数阶慢扩散方程，他们建立了两种ADI格式，并证明了差分格式的唯一可解性、无条件稳定性和一致收敛性。

Meerschaert[3]等提出了带位移的G-L逼近，然后用带位移的G-L逼近建立了向前Euler差分格式、向后Euler差分格式和Crank-Nicolson差分格式，作者将带位移的G-L逼近用于求解双向分数阶微分方程、二维分数阶微分方程等初边值问题，建立了差分格式，并作理论分析，得到了稳定性结果。

于强、刘发旺等在文[4]中研究了三维空间时间分数阶Bloch-Torrey方程的数值求解，时间Caputo分数阶导数用L1方法离散，空间Riesz导数用位移的G-L公式离散，得到了具有离散精度的正型差分格式，用极值原理的方法证明了所构造差分格式的无条件稳定性和收敛性，在无穷范数下的收敛阶为

[1]Gao G H ,Sun Z Z. A compact finite difference scheme for the fractional sub-diffusion equations. J. Comput. Phys., 2011,230: 586-595.

[2]Zhang Y N,Sun Z Z, Wu H W. Error estimates of Crank-Nicolson-type difference schemes for the subdiffusion equation. SIAM J. Numer. Anal., 2011,49: 2302-2322.