矩阵的同时相似三角化问题文献综述

1. 选题背景和意义：

在高等代数课程中，我们研究过矩阵可以相似对角化的条件，最后我们一些充分必要条件。同时，我们也学习过两个或多个矩阵可以同时相似对角化的条件，即用同一个可逆矩阵把给定的两个或多个矩阵同时相似化为对角矩阵的条件。另一方面，我们还知道，每一个矩阵都相似于一个上三角矩阵（比如，若尔当标准形）。这启发我们思考如下问题：能否用同一个矩阵通过相似变换将两个或多个矩阵都化成上三角矩阵？这方面目前还缺少相关的研究，这也是本篇论文关注和需要解决的问题。

我们将借助李代数理论来研究上述问题。

李代数起源于19世纪，最初是由挪威数学家索菲斯·李创立李群时引入的一个数学概念，后来经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于威廉·基灵、嘉当、外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。

我们希望利用李代数的有关知识，找到矩阵可同时相似三角化的条件。由于上三角矩阵有很多好的性质，加之运算简单方便，这项工作对于我们研究矩阵具有重要意义。

1. 课题关键问题及难点：

本课题的关键是如何理解李代数理论与本课题的关系，难点是找到矩阵可以同时相似三角化的条件，并将所得到的条件用易于理解的方式表达出来。

1. 文献综述（或调研报告）：

以下文献包括两个部分，其中文献[1]，[2]，[3]是李代数的入门教材，这些教材在介绍李代数时有相同之处，也有各自的特色。比如它们都介绍了有关李代数的基本概念，包括李代数的公理化定义，李代数的理想，可解性，幂零性，Killing型，Cartan矩阵，Dynkin图等；还介绍了李代数中的几个重要定理，如Engel定理，Lie定理和Cartan判别准则等。但它们在介绍也有区别。比如，[1]先介绍了Lie定理，再介绍了Engel定理。这样处理的目的是为了用Lie定理证明Engel定理从而简化Engel定理的证明，但是这样却不能说明Engel定理对任意特征的域都是成立的，因为Lie定理只对特征为0的代数闭域成立。在书中并没有对任意的域给出证明，只是陈述了这一事实。而[2]，[3]单独介绍Engel定理和Lie定理，这样Engel定理的证明显得更复杂，但好处是直接说明了Engel定理的普适性。

文献[4]，[5]，[6]是有关矩阵相似的论文。从这几篇论文中可以看出，矩阵相似的研究方向主要有两个。一是以“任意矩阵都相似于若尔当型矩阵”为基础，研究相应的若尔当矩阵的性质，再利用相似性推回原来的矩阵。如[4]。另一种方法是选取特殊的矩阵构成向量空间或群，通过研究这些向量空间或者群的性质进而说明这些特殊矩阵所共有的特性。如[5]，[6]。

[1]苏育才,卢才辉,崔一敏.科学出版社,2008.

[2]N.Jacobson. Lie Algebras. New York-London:WileyInterscience,1962

[3]J.E.Humphreys. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Spriger-Verlag,1972