Exp(x)的Taylor多项式性质研究初探开题报告

 2021-08-08 01:08

1. 研究目的与意义

指数函数是数学知识中的重要内容之一,这个内容的学习往往很困难,学好了指数函数,也学好了它的反函数对数函数。因此本文就从中学对指数函数的描述,用幂级数定义以及指数函数的简单应用等方面论述指数函数的性质与意义。

利用泰勒多项式逼近函数,是研究函数的重要方法之一同时泰勒公式是高等数学的重点和难点,具有十分重要的理论价值,在近似计算、极限计算、不等式证明、函数性态分析、行列式计算和级数敛散性判定等方面有着重要的应用同时,泰勒公式也是数值分析中多项式插值、数值积分、数值微分及常微分方程数值解等数值算法的理论基础。简单来说,泰勒公式就是在一点附近用多项式逼近函数,泰勒公式的余项就是多项式逼近函数的误差。泰勒公式比较抽象,难以理解,一直是高等数学教学的一个难点。究其原因,是因为初学者不太理解多项式逼近函数的思想,缺乏对泰勒公式的直观感受。为此,本文从多项式逼近函数的角度出发,引出泰勒公式及其余项,重点解释多项式逼近函数的思想及几何意义。

在上述研究的基础上我们对指数级数中的前次多项式的零点的性质进行了分析,得到了零点数量与它的变化趋势的一系列结果.并且利用Taylor公式给出了具有解析表达式的零点控制区间,进一步运用指数级数的余项分析和 Stirling 公式给出了精度更高的零点控制区间,同时得到了寻求零点的计算方法,这种算法的精度能够达到任意要求,对高次多项式零点的计算能大幅减少运算量。

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2. 国内外研究现状分析

在我们了解到的数学历史上 ,对数函数的研究比指数函数的研究还要早 ,这看上去和我们平时所接触到的不一样 ,但却是事实。十六世纪 ,当时的人们对于指数概念的了解还不很完全 ,由于天文学和航海事业的需要 ,英国数学家 J. Napier( 1550 1617) 运用三角公式 ,花费了大概 20年左右的时间 ,制作出了精密的对数表。并且在1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》一书。但在他的工作中也没有涉及到指数函数的概念 ,而在当时关于非正整数指数的概念也十分模糊不清。同时另一位英国的数学家和天文学家 H. Brig gs( 1561- 1630)是 Napier 的追随者并且也与他合作 ,发展Napier没有完成的事业。在1624年他们合作出版了《对数算术》一书。并且后人为了纪念 Briggs,将以10为底的对数称为 Briggs对数。无理数 e在他们那个年代也还没被发现。资料显示第一个阐明对数是幂运算的逆运算的是数学家 L.Euler。同时对数的底也是他发现的 ,并以他的名字的首字母的小写形式 来表示。 我们也知道对数函数的反函数是指数函数,所以,利用这个性质现在我们学习对数概念时大多是引入指数 ,再作为它的逆运算引入对数。

泰勒公式是以英国大数学家布鲁克泰勒(Brook Taylor)的名字命名的,首次出现在泰勒于 1715 年出版的著作《正和反的增量法》中。最初,泰勒并没有给出泰勒公式的余项表达式,也没有考虑泰勒级数的收敛性问题,这些问题后经佩亚诺、拉格朗日和柯西等人的深入研究才得以圆满解决。

泰勒公式是高等数学的重点和难点,具有十分重要的理论价值,在近似计算、极限计算、不等式证明、函数性态分析、行列式计算和级数敛散性判定等方面有着重要的应用同时,泰勒公式也是数值分析中多项式插值、数值积分、数值微分及常微分方程数值解等数值算法的理论基础。

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3. 研究的基本内容与计划

1--3 周:收集相关资料,中文资料不少于10篇,资料不少于两篇,熟悉课题内容,完成开题报告。

4--5 周:对exp(x)的Taylor多项式进行较为全面的研究,并做进一步的探讨。

5--10周:整理相关资料,拟定毕业论文大纲。

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4. 研究创新点

对指数函数的级数中前n次多项式的零点的性质进行分析,得到了零点数量及其变化趋势和一系列结果。利用泰勒公式给出了具有解析表达式的零点的控制区间,进一步运用指数函数级数的余项分析和斯特林公式给出了精确度更高的零点控制区间,同时得到了寻求零点的计算方法,这种算法的精度能够达到任意要求,对高次多项式零点的计算能大幅减少运算量。

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