解析函数和调和函数的内在联系开题报告

全文总字数：1361字

1. 研究目的与意义

解析函数作为复变函数研究的主要对象，与调和函数有着深刻的内在联系。16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程式，首先产生了负数开平方的思想。为了使负数开平方有意义，我们需要再一次扩大数系，于是，就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。

关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉做出的。他在1777年系统的建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把把它们用到水力学和地图制图学上，用符号i作为虚数的单位。

解析函数的意义及应用：一个无源无旋的平面向量场可用一个解析函数表示，则这个解析函数是该平面向量场的复势函数. 解析函数具有明确的物理意义和广泛的应用背景。对任一既无源又无旋的平面向量场总可以构造一个解析函数，即复势与之对应.流体力学中无旋流动的研究中也经常用到解析函数，利用复势来刻画流动比用复速度方便，因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用积分。另一方面，由复势容易求流线和势线，这样可以了解流动的情况。

2. 国内外研究现状分析

国内外对解析函数和调和函数的研究非常之多，结论也十分丰富。对于解析函数和调和函数的性质的比较和证明一般主要集中于极值原理、Liouville 定理, 等等。

解析函数和调和函数有非常密切的联系, 这从它们的性质里就可以看出来, 从调和函数的观点可以很好的来研究解析函数的这些性质。由一个已知的调和函数来构造解析函数的方法研究也非常多。

3. 研究的基本内容与计划

经过中外数学家将近两百年的不懈努力，还研究出了复变函数在区域内解析的其他各种判别条件，包括充分条件，必要条件和充要条件。此外，研究解析函数自然也少不了要研究其性质。本课题主要探讨二维情况下的解析函数和调和函数，通过研究，旨在全面总结解析函数和调和函数的内在联系，解析函数的性质。

本文基于复变函数的一般理论，参考国内外相关文献，就解析函数和调和函数的历史背景、相关应用和研究相关问题的方法进行研究。

主要研究解析函数的性质，调和函数的性质，这两种函数之间性质的相同点与不同点，可否互推，和其间的内在联系。另外主要研究了由已知调和函数构造解析函数的几种基本方法。

变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，而解析函数论是复变函数论中最重要的分支之一。

通过以上研究，解析函数与调和函数的关系可以通过复变函数的实部和虚部两个二元函数来刻画，而共轭调和函数的引入，可以成为二者的过渡，正是由于这种过渡的存在，才能有调和函数构造出解析函数。

4. 研究创新点

本课题概况了解析函数和调和函数主要相同的性质，例如最基本的平均值定理，极值定理和Liouville定理，也分析比较了两者各自特有的性质，例如解析函数的零点孤立性和唯一性，然而调和函数并没有。

基于前人的基础上介绍了四种由已知调和函数构造解析函数的四种方法，也研究了新的方法，并举出实例来比较这几种方法的适用范围和优缺点。