特征值问题的Davidson型方法开题报告

全文总字数：1478字

1. 研究目的与意义

当今科学和工程计算面临的基本问题之一是如何有效地求解大规模特征值问题.Davidson方法及其变型便是一类非常有效的求解大规模特征值问题的方法.为解决量子化学中的特征值间题,Davidson方法于1975年应运而生!Davidson方法是通过摄动方法得到的,其主要思想是用一个包含着特征方向更多信息的向量扩充搜索子空间来提高效率.Davidson方法后来演变成为计算对角占优Hermite矩阵几个最小特征值的有效方法,对角占优Hermite矩阵在量子化学中有着广泛的应用背景.Davidson型方法在电子结构计算中的表现也是非常成功的。它不仅可以计算大型的矩阵，还有效地提高收敛的速度，在科学和工程计算中有着非常重要的作用！

2. 国内外研究现状分析

1975年，Davidson在计算量子化学中的特征值问题时提出了计算大型对称矩阵极端特征值问题的一种新方法－Davidson方法。后来许多学者对Davidson方法进行了研究和改进，如Crouzeix等人将Davidson方法推广到了块形式，并给出了Davidson方法的收敛性分析。Davidson方法已发展成为求解对角占优Hermite矩阵若干个最小或最大特征值的有效方法。1996年，Sleijpen和VanderVorst将Jacobi方法的校正思想和Davidson方法的内外迭代思想相结合，提出了Jacobi-Davidson方法。之后许多学者对Jacobi-Davidson方法进行了研究和改进，如Sleijpen等人将其应用到广义特征值问题以及多项式特征值问题。VandenEshof讨论在对称情况下Jacobi-Davidson方法的收敛性问题。Notay将共轭梯度方法与Jacobi-Davidson方法有效结合，利用共轭梯度法求解校正方程，并且根据共轭梯度法的性质建立了内部线性系统残量与外部过程收敛性的关系。此外，戴小英等讨论了在Jacobi-Davidson方法中采用区域分解和多水平技术产生校正方程的预条件子。当所求的特征值分布密集或矩阵阶数很高时，投影子空间的维数可能较大，从而Jacobi-Davidson方法需要的计算量及存储量很大。为解决这个问题，一些学者研究了Davidson方法和Jacobi-Davidson方法的重新开始技术，如隐式重新开始技术、动态稠密重新开始技术、组合CG递归与动态稠密重新开始技术等。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容：

1、详细davidson型方法的基本概念以及应用范畴。

2、详细davidson型方法的理论知识和方法。

4. 研究创新点

1、详细阐述Davidson型方法的理论基础以及在计算机程序语言中的实现。

2、原理、方法、算法和实例分析相结合。