浅议复函数与实函数的异同开题报告

1. 研究目的与意义

研究背景：

早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念，这些都是微积分的中心思想，也是人类发展微积分的第一步。相比之下，复数的起源要晚一些，十六世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，才首次提出复数开平方的思想。

中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破。直至十七世纪中叶，人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念，就在这个时候，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过微积分基本定理或牛顿－莱布尼茨公式联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。对于复数，直到十八世纪，数学家们对它才稍稍建立了一些信心。因为不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。十八世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，人们把函数变量从实变量推广到复变量，从而产生了复变函数，并且实变函数中的很多性质都可以不加更改地推广到复变函数中，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。随后法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯分别从极限、映射和级数三个不同的角度对复变函数进行了研究，使得复变函数理论得以完善，成为十九世纪最富饶的一个数学分支。

2. 研究内容和预期目标

主要内容：

理清复函数与实函数的相关概念及结论；从极限与连续性、导数与微分、积分、数项级数敛散性、幂级数展开式、中值定理等方面讨论复函数与实函数的异同；对二者的联系和区别进行总结，简单介绍复函数在实函数相关问题中的应用。

预期目标:

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

文献资料法，经验总结法，理论研究法等

研究步骤:

4. 参考文献

1.钟玉泉，复变函数论（第三版）［m］,高等教育出版社。

2 2 2.余家荣，复变函数（第三版）［m］，高等教育出版社。

3.华东师范大学数学系，数学分析［m］，高等教育出版社。

5. 计划与进度安排

1.2022年2月20日-3月3日老师下达任务书，向我讲授所选论题的状况和要求等。2.2022年3月4日-3月12日完成开题报告，教师指导修改和审定我论文开题报告。3.2022年3月13日-5月21日按开题报告撰写论文。期间每周向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况。4.2022年4月17日-4月30日汇报课题进展情况，回答老师提问。配合院系和教务处做好论文中期检查工作。5.2022年5月8日-5月14日指导教师批阅论文初稿，按照老师提出的修改意见对论文进行修改。6.2022年5月15日-5月28日经指导老师批阅，达到质量要求后定稿7.2022年5月29日-6月4日指导教师写出评语，给出成绩等第，评阅教师评阅。8.2022年6月5日-6月11日论文答辩。