分数阶对称性的研究开题报告

1．本课题研究的背景、目的及意义

背景：对于对称性，人们对于它的了解从最初的数学平面几何到立体图形，逐步发展到后来的各个领域。比如建筑和艺术品之中的种种对称之美，等等。但是，物理学上更加深刻的对称性是运动和不变量在某种变换之下的不变性，这一理论是在17世纪开始发展的。力学系统的内在本质就在于它的对称性，其为寻找系统的守恒量提供了一个强有力的方法。近代寻找守恒量的基本方法有Noether对称性，Lie对称性，Mei对称性，它们在物理，力学，近代物理中的地位逐渐增加。研究分数阶导数下约束力学系统的对称性，可以获取相对应的守恒量或是第一积分，用来减少自由度的维数，从而将力学系统中微分方程的求解问题降至低维空间上。

目的：1.了解掌握分数阶对称性的基本内容以及相关知识，查阅收集有关书籍。

2.探讨分数阶约束力学系统的对称性与守恒量。

3. 能够提出一些自己的观点，在前人的基础上有所收获。

意义：分数阶对称性与力学系统紧密相关，通过分数阶模型以及对称性的利用可以为力学系统中的非保守力提供一种有效的处理途径，也可以使存在的变分方程求解更加简便。

2．本课题主要研究内容和预期目标

研究内容：联合分数阶导数下约束力学系统的对称性以及它的守恒量问题，其中有联合Riemann-Liouville分数阶导数，Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数，联合Caputo分数阶导数，以及Riesz-Caputo分数阶导数。

预期目标：1.熟悉分数阶模型的建立方法。

2.通过学习可以自己推导出有关的分数阶微积分方程。

3.研究分数阶约束力学系统的对称性和守恒量，清楚它们的性质。

4.可以做到独立解决出现的例子，运用所学解答，并在现实生活中去寻找可以运用的地方。

3．本课题拟采用的研究方法、步骤

研究方法：利用分数阶模型，建立分数阶约束力学系统的运动微分方程，进而研究该系统的对称性与守恒量。

步骤如下：1.知道分数阶系统以及作用量。

2.熟悉关联的分数阶导数。

3.能够建立分数阶模型。

4.利用分数阶微积分推导方程，并在方程基础上研究得到对称性和守恒量。

4．本课题主要参考文献

[1] F.X. Mei, H.B. Wu and Y.F. Zhang, Symmetries and conserved quantities of constrained mechanical systems, Int. J. Dynam. Control 2 (2014) 285-303.

[2]梅凤翔, 分析力学(下), 北京理工大学出版社, 北京 2013.

[3] G.S.F. Frederico and D.F.M. Torres, A formulation of Noether’s theorem for fractional problems of the calculus of variations, J. Math. Anal. Appl. 334 (2007) 834-846.

[4] C.J. Song and Y. Zhang, Noether symmetry and conserved quantity for fractional Birkhoffian mechanics and its applications, Fractional Calculus Applied Analysis 21 (2018) 509-526.

[5] H.B. Zhang and H.B. Chen, Noether’s theorem of fractional Birkhoffian systems, J. Math. Anal. Appl. 456 (2017) 1442-1456.

[6] 吴强, 黄建华, 分数阶微积分, 清华大学出版社, 北京 2016.

[7] O.P. Agrawal,Formulation of Euler-Lagrange equations for fractional variational problems， Journal of Mathematical Analysis and Applications,1(2002)368-379.

[8] S.K. Luo, L. Li,Fractional generalized Hamiltonian mechanics and Poisson conservation law in terms of combined Riesz derivative, J. Nonlinear dynamics,1/2(2013)639-647.

[9] Y. Zhang, Y. Zhou,Symmetries and conserved quantities for fractional action-like Pfaffian variational problems,J. Nonlinear dynamics,1/2(2013)783-793.

[10] Y. Zhang, X.H. Zhai,Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems, J. Nonlinear dynamics,1/2(2015)469-480.

5．本课题的具体进度安排（包括序号、起迄日期、工作内容）

1. 2022.2.25-2022.3.10学生完成开题报告

2. 2022.3.11-2022.5.31毕业论文写作

3. 2022.4.15-2022.4.28中期检查

4. 2022.5.6-2022.5.19 完成论文初稿

5. 2022.5.20-2022.5.31 论文定稿

6. 2022.6.1-2022.6.7 毕业论文评阅

7. 2022.6.8-2022.6.14 论文答辩与评分

8. 2022.6.15-2022.6.18 整理材料，结束工作