加权组合多尺度 Petrov-Galerkin 方法的分析开题报告

 2021-08-08 12:08

1. 研究目的与意义

在很多科学和工程应用当中,所要求解的问题都具有多尺度的特征。

这类问题通常被称为多尺度问题。

多尺度问题的数值模拟是应用数学和科学计算领域的热点研究方向,有重要的理论意义和应用前景,在复合材料设计和多孔介质流模拟等问题中尤其重要。

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2. 国内外研究现状分析

对于多尺度问题的求解,国内外学者提出了一些多尺度数值方法,主要有异质多尺度方法[1-2], 多尺度有限元方法[3-5],Petrov-Galerkin多尺度有限元方法[10],多尺度有限体积方法[15]等。这些多尺度方法大都是基于均匀化理论,在粗网格上抓住宏观尺度的特征。

论文主要研究多尺度有限元方法。1997年,Hou等提出了多尺度有限元方法[4-5],其与传统有限元方法的本质区别在于基函数的构造。传统的多尺度有限元方法中会产生共振误差,即问题本身的小尺度与粗网格尺寸相近所引起的共振效应,当二者接近时,误差就会变得很大。对这一问题,Hou等通过采用超样本技术[3],选取超样本基函数作为试探函数,协调的分片线性函数作为检验函数,利用Petrov-Galerkin格式[10]可以完全消除这一误差。多尺度有限元方法在过去的十几年内有很多发展和应用。例如,多尺度有限元方法求解非线性问题[6-7],多尺度有限元方法求解多孔介质两相流问题[8-9],混合多尺度有限元方法[11-13],改进的多尺度有限元方法求解对流扩散方程[14]等。

然而,对于带奇性多尺度问题,如跨越多个粗网格单元的高对比通道问题在通道边缘具有奇性、渗流问题中具有吸收或排出井源的问题在井附近具有奇性,粗网格上的传统有限元方法或多尺度有限元方法在处理奇性问题时往往可能会失效,甚至失真,这主要是因为在粗网格上很难有效的抓住解的局部奇性特征。相应的,也有一些数值方法求解这类奇性问题。比如,多尺度有限元方法求解高对比椭圆界面问题[16-17],自适应广义多尺度有限元方法求解高对比问题[20],格林函数法求解井奇性问题[19]。近几年,[21]提出的组合有限元和多尺度有限元方法求解高对比问题和井奇性问题,结合了传统有限元和多尺度有限元方法的优点,保持了二者的精度。而后在此基础上又提出了组合有限元和超样本多尺度 Petrov-Galerkin 方法求解带奇性多尺度问题[22]。组合多尺度有限元方法在求解带奇性多尺度问题上有很大优势。因此,继续研究和分析组合多尺度数值算法,是至今仍然需要研究的工作。

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3. 研究的基本内容与计划

论文主要研究带奇性多尺度模型问题,组合多尺度有限元与组合多尺度 Petrov-Galerkin 方法在求解带奇性多尺度问题上有很大优势。

在此基础上,利用加权平均技术,研究和分析加权组合多尺度 Petrov-Galerkin 方法。

(1)2017年10-12月,了解多尺度问题的背景,深入学习组合多尺度有限元与组合多尺度 Petrov-Galerkin 方法,重点关注算法的设计、分析、数值试验。

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4. 研究创新点

论文的特色是用组合多尺度方法的思想研究带奇性多尺度模型问题,既选取了具有代表性的方程模型,又能够侧重于实际方法的研究和具体问题的应用。

创新之处在于方法上的创新:传统的有限元方法或多尺度有限元方法往往无法有效地求解带奇性多尺度模型问题。

在组合多尺度有限元方法和组合多尺度Petrov-Galerkin方法,利用加权平均的技术,提出并分析加权组合多尺度Petrov-Galerkin方法,算法结合了标准有限元和多尺度有限元方法的优点,可以有效的求解带奇性多尺度问题,算法的精度较传统有限元和多尺度有限元方法有明显的提高。

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