广泛Sylvester的映射和矩阵方程
Bin Zhoulowast;, Guang-Ren Duan
摘要：出现在线性系统理论的一个广义Sylvester矩阵方程家族的一般参数解决方案是可以使用所谓的广义Sylvester映射的一些特性来给出的。该方法由一些满足某些条件的多项式矩阵和一个代表着自由程度的参数矩阵组成的。该结果为计算和分析解决这一系列方程的方法的研究提供了极大的方便，另外，它也在线性系统理论中很多问题的分析和设计中发挥了重要作用。我们也希望，这种广义Sylvester的映射的解决问题的工具可以在控制系统理论中有其他的应用。
- 引言：
一般的线性系统可以用以下动态方程
（1）
来表示。其中，，它们是一些常系数矩阵，另外，分别是状态向量和输入向量。在一些特殊情况下，当时，（1）变成了一个著名的线性系统
， （2）
它包含广义线性系统和正常线性系统。当时，（1）变成了如下知名的二阶线性系统
， （3）
它在振动和结构分析，航天器控制和机器人控制等领域有着非常广泛的应用。
在某一些控制问题中它可以被展示出来，例如极点或者特征结构配置和线性系统（1）的观测器设计[13,32]都与以下形式的方程[13]
（4）
密切相关，其中，，它们是已知的矩阵，和是待确定的矩阵。这种类型的方程称为阶非齐次广义Sylvester矩阵方程。它的齐次部分是
（5）
很明显，上面的阶广义Sylvester矩阵方程（4）包括以下的几种方程式的特殊情况。如果我们令，，，方程（4）变为
， （6）
如果我们令，，，方程（4）变为
， （7）
另外，如果我们令（4）中的，，，，它就变为
（8）
方程（6）--（8）的齐次部分分别由（9）（10）和（11）给出。
（9）
（10）
（11）
广义Sylvester矩阵方程（6）--（7）和（9）--（10）在许多问题上有着广泛的应用。例如，极点或者特征结构配置，Luenberger型观测器设计和线性系统（2）的鲁棒性故障检测（[14,15,25]）。广义Sylvester矩阵方程（8）和（11）在极点配置（[4,21,26]），特征结构配置（[11,20]）和一些第二阶线性系统（3）的其他问题有着广泛的应用。
在解决广义Sylvester矩阵方程（6），（7），（9）和（10）时，F的形式分别为Jordan形式， Schur 形式和 companion形式，很多的结果已经被其它的学者提出来了。然而，这种赋予F为Jordan标准型的限制是一个明显的缺点。因为无论是现有的结果本身和其在文献中的证明（参见，例如，[9]）在很大程度上都依赖于F作为Jordan标准形式的具体结构，使用现有的结果或方法不能直接获得（6）--（11）中解出一般矩阵F的方法。为了解出一般矩阵F，可以将F因式分解Jordan标准型，然后将方程（6）--（11）转换成等效的因子。仅仅通过使用该方法得到该解决方案是非常复杂的，涉及到Jordan标准形的计算，并且在应用时确实不太方便。因此，直接给出一般矩阵F的完整且明确的公式是容易的。由于这些原因，笔者最近在这个问题上做了一些工作。我们在[31]已经提出一个完整的针对方程（10）的参数解决方案，然后采用直接计算一些有关的多项式矩阵将其扩展到在文献[16]中的二阶情况。
在这里，我们将特殊情况看作包括方程（6）--（11）在内的更一般的公式（4）--（5）。在这里呈现的结果没有给出琐碎的细节，因为我们已经从一个“映射”点所使用的有效工具来查看处理这个家族方程。通过这个工具，方程和他们的解决方法都可以用这种方式陈述出来。结果和证明方法都比[31]中使用的方法简单。进一步说，广义Sylvester映射有许多除了解决广义Sylvester矩阵方程以外还可以应用于其他方面的优秀特性。
最后，我们指出，从数学的角度来看，（4）--（5）形式的方程是线性的，那意味着它们可以改写为诸如的简单形式。例如，通过使用Kronecker积，方程（4）可以被改写为以下形式
其中，是一个拉伸变换，可以定义为：然而，由于本文的主要目的是建立明确但不用数值方法解此类方程（4）--（5），这样简化是不适合于这一目的的，原因是矩阵和比，和有更高的维度并且丢失了，和的结构信息。对于Sylvester级方程的数值解法，读者可能会参考[33]中用来构建解决方案的Schur分解，还有[6-8]中使用的分级识别原则，并引入Sylvester级方程的迭代解决方案。
注释：在本文，我们使用来表示集合，来表示矩阵A的特征值集合，来表示一个第i排为的块矩阵，来表示一个第i列为的块矩阵，来表示元素为的一个对角矩阵。对于两个任意的整数p和q，我们定义
，
，
其中或者。显然的，我们有
- 广义Sylvester映射和它的特性：
对于一个固定的，我们用来表示它的最小多项式。对于一个多项式矩阵，我们用来表示不变的多项式。
定义1. 令，对于任意一个，我们定义广义Sylvester映射为以下形式
备注1：如果，从这个定义可以使得F必须是非奇异的。为了方便，接下来，如果，有一个隐含的限制F是奇异的。
备注2：我们使用广义Sylvester映射的原因是它是一个可拓展的广义Sylvester映射，可以定义如下：
（12）
其中A和B是已知的具有适当外形尺寸的矩阵。广义Sylvester映射（12）也包括定义为如下形式的
（13）
Lyapunov映射，其中A是一个已知的方阵。Lyapunov映射（13）有一些好的特性并且在鲁棒性控制和开关控制理论上有着广泛的应用。注意到广义Sylvester映射的定义也在[19]中给出了。
通过定义，广义Sylvester映射，从到有着以下简单的特性：，
，
（14）
我们给了一些更深入的广义Sylvester映射的特性，它将在本文的成果中被应用。
引理1.令，和，接着有
证明：令，。接着我们通过定义有
证明接下来将完善。
对于任意多项式矩阵，，存在两个多项式矩阵和使
，
接着使用（14）式，引理1和Caley–Hamilton理论，我们有
从而，若中m和n任意，我们可以假设在中的结果中没有一般性的损失。
引理2.令，，。接着
证明：我们表示接着通过定义我们有
我们完成了证明。同样，我们可以证明下面的结果。
引理3.令，，，。接着
通过使用引理2和3，我们有如下的推论。
推论1.令并且接着有
以下引理可以被看作是一个新的表示广义Sylvester映射。
引理4.令，。接着有
证明：可以表示为
其中表示的第i列。然后，通过定义和使用引理1和2，我们得到
注意，然后，通过定义和使用引理1和2，我们得到
这样就完成了证明。引理1-4的证明采纳了[19]给出的想法。通过使用（14）和引理4，我们可以得到以下推论。
推论2.令，，都是奇异的。接着有
使用这种推论，我们可以得到对于满足和的任意的的紧凑的表达式。事实上，存在两个单模多项式矩阵和满足，其中是的Smith标准形。我们有，它遵循
，
其中，现在我们给出这个部分的最后引理。
引理5.令，，。广义Sylvester映射是双射当且仅当秩.
证明：记，根据引理4，我们有
其中，
因为和都是双射映射。当且仅当是非奇异的，映射是双射。另一方面，当且仅当（15）成立时，是非奇异的。
下面的结果是定理1的[19]的双重形式。我们通过使用引理5提供了另一种证明。
定理1.令，，，是从到的广义Sylvester映射。有
- 当且仅当 ，映射是满射。
- 当且仅当 ，映射是内射。
证明：令，为两个单模多项式矩阵，将转换为它的Smith标准形，也就是说，
其中，，，。接着有
通过使用引理1，并记，，我们得到
（17）
由于和都是单模矩阵，根据引理5，映射是满射当且仅当是从到的满射映射。方程（17）意味着如果，那么映射不是从到的满射映射。从而我们应该假设。在这里，通过引理4，记，我们获得以下式子
，
很明显，映射是满射当且仅当，是非奇异的。由于，
是的不变因子，当且仅当时，，都是非奇异的。然后，我们完成第一部分的证明。
当且仅当矩阵方程有唯一的解，或者当且仅当矩阵方程有唯一的解时，映射是满射。如果，它从（16）得出存在非零解，所以我们必须有。它遵循和
其中。从而当且仅当都是非奇异时，方程有唯一的解，也就是说。证明完毕。
- 广义Sylvester矩阵方程的解法
在本节中，所有的多项式矩阵被假设为是有限度的。
3.1同质的情况：
我们现在考虑的情况是广义Sylvester矩阵方程（5）。为了更加方便，我们定义
（18）
根据定义1，方程（5）可以写成： （19）
为了简化，我们记，. （20）
所以，方程（19） 可以进一步写成： （21）
主张1.下面的假设 （22）
不输普遍性。
证明：我们证明假设（22）不成立，也就是说， （23）
方程（21）可以在条件（22）下等价写成一个新的相同形式的方程。
如果（23）成立，就会存在一对单模多项式的矩阵和满足 （24）
其中是的Smith标准式。从（24）得出
在这里我们已经划分为，。从而，使用引理1和结论1，我们可以得出其中
由于是幺模矩阵，当且仅当并且是满足的（21）的形式时，那么。这个证明就完成了。
备注3.条件（22）具有实际意义，而不是制约了线性系统理论。例如，当，，，时，条件（22）变成了
（25）
当且仅当时，相应的广义线性系统是规律的。规律是系统一个非常薄弱的条件，同时对于一个系统的解法也是一个充分必要的条件。从而它遵循条件（25）隐含的规律性。条件（22）也比下面给出的R-可控条件弱。
定义2.令和像（18）定义的那样。如果
（26）
则说是R--可控的。
定义3.令和像（18）定义的那样。对于任意满足条件的，我们称它为的不可控制模式或者系统（1）无法控制的极点。
我们用来表示的不可控制模式，也就是
很明显，当且仅当是R--可控的时，是空的。进一步说，通过使用的Smith标准式，我们有
（27）
其中的定义就是（20）。
令是（5）解的集合，也就是说我们有以下关于解空间的维数。
主张2.令（22）成立，则以下的条件是等效的
（a）
（b）广义Sylvester映射是满射。
（c）矩阵是非奇异的。
（d）多项式和是互质的。
（e）
（f）empty;，矩阵F的特征值不同于的无法控制的模式。
证明：（b）和（c）的等价直接来源于理论1.（c）和（d）的等价可以从观察到。
可以使用的定义很容易证明。
来自于（27）。我们现在展示（a）和（b）的等价。
明显的是，通过定义，当且仅当时，广义Sylvester映射是满射。这意味着，也就是。证毕。
令是一个满足条件
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