单位权中误差约束下的最优估计理论及其精度分析文献综述

1. 文献综述（或调研报告）：

在任何测量活动或模型拟合的过程中，误差都不可避免的存在于其中并产生不利影响。根据误差对测量结果的影响性质，人们将误差分为偶然误差、系统误差和粗差。其中，偶然误差大小、符号均没有规律性，但就总体而言，这类误差服从正态分布；粗差是指比在正常情况下所可能出现的最大误差还要大的误差，这是一种比偶然误差大上好几倍的误差，有时会对数据的应用造成巨大影响。

为了减弱或消除误差的影响，人们研究使用了许多种方法，其中最常用最经典的方法即为最小二乘估计。它是基于偶然误差服从于正态分布的特征，由高斯和勒让德分别提出，其计算简便且具有强大的理论依据在测量、统计学界被大范围使用。但是，经典的最小二乘原理是基于数据中仅包含偶然误差的情况下出发的，当数据中混入粗差时，由经典最小二乘理论的V=RDelta;使得不论哪一个观测值包含了粗差都将不可避免的体现在所有观测值改正数上，让粗差的寻找与排除工作变得异常困难，同时这无疑也极大的限制了最小二乘法的使用范围。

随着科技的进步，观测仪器变得越来越先进，社会需求越来越大，数据量也因此变得越来越大，数据中存在粗差的情况也越来越频繁，人们要处理偶然误差与粗差并存的数据的情况变得十分常见。为了提高数据处理的精度与效率，相关学者们提出两种思路：

第一种是基于误差分布的统计规律，使用假设检验的方法进行排除。如数据探测法（Data Snooping）中通过利用Pope推导得出的tau;变量进行检验，可以对单个粗差进行检验排查。

第二种是将粗差归入随机模型的粗差定位方法。首当其冲的是稳健估计（Robust 估计法），它是属于极大似然估计中的一种特殊估计方法，它能保证所估的参数少受或不受模型误差（首先指粗差）的影响。经典的最小二乘理论也属于极大似然估计，但由于他有更好的配赋误差的能力，虽然容易受粗差的影响而不能抵抗外来粗差的干扰，但国内外学者尝试将稳健估计与最小二乘估计进行结合并提出了抗差最小二乘估计。其与原始稳健估计的区别在于抗差最小二乘估计提出了等价权的定义，并将等价权替代最小二乘估计中的权函数得到稳健估计的最小二乘形式。这样就只需通过设计等价权函数并在迭代运算中对其进行不断的调整，就能使原有的最小二乘估计算法具有一定的抗差性。

现在比较常用的权函数定义法有：Huber法、Hampel法、丹麦法、IGG法、p范数最小法和验后方差法等。前四种方法中更多采用数据分区的方式定权，一般分为正常数据和非正常数据。采用正常数据权重不变，非正常数据权重减小，且分区的上下界以经验常数确定，这个常数通常为标准差的倍数，但使用该经验常数进行分区容易导致模型在自适应方面有一定的缺陷。同时对不同的数据区段，其误差分布函数是不同的（如学者Huber提出，粗差具有服从Laplace分布的规律），所对应的的目标函数（损失函数）也是不同的，以此该类权函数的定义是在观测误差服从多分布的情况下提出的。文献[6]指出，当误差处于同分布如正态分布时，M估计就是最小二乘估计；当误差为Laplace分布时，是最小绝对偏差估计，前者不具备抗差性，后者效率低且容易出现多解的情况。

基于此，文献[6]提出了一种基于同分布的概率最小二乘法，即考虑误差分布函数，从方差数学期望的离散公式以及误差数学期望离散公式出发进行推导，将原有极大似然估计准则rho;=min化为Delta;sup2;f（Delta;）=min，进而得到相应的最小二乘形式的等价权。最后通过证明得出该方法具有天然的抗差性、一致性和最小估值偏差的统计特性。

参考文献：