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泵进行运行优化的元启发式算法比较
- M. Bagirov1, S.T. Ahmed, A.F. Barton, H. Mala-Jetmarova1,
A. Al Nuaimat1 和 N. Sultanova1
摘要
泵运行成本是配水系统总体运行成本的主要部分。泵运行成本最小化问题有很多不同优化公式，包括那些应用连续和整数规划方法。到目前为止，多种主要元启发式已经应用于解决这个问题。但是，综合比较，那些元启发式还没有完成。从算法反应的性能来看，这种比较对于确定不同算法的优点和缺点是至关重要的。为解决泵运行成本最小化问题，在本文中，从广泛使用的元启发式算法中，我们提出一种比较分析得到的方法。这种方法包括以下比较标准：（a）“最优溶液“; （b）效率; 和（c）鲁棒性。
应用的算法是：粒子群优化，人工蜂群算法和萤火虫算法。这些算法应用于文献中可用的一个测试问题。获得的结果证明，对于这个测试问题，人工蜂群是最强大的，而萤火虫是最有效的准确的算法。
介绍
对于已建立的配水系统（WDS），运行成本包括水泵运行，网络维护以及水处理和消毒成本。 泵的运行成本通常是是整体运营成本的主要组成部分。泵需要根据由制造商指定的总运行时间进行维护。节约泵的运行成本可以通过减少部分泵的运行时间和相关数量的泵开关（开/关）。这可以通过找到自1960年代后期以来的研究主题的最佳泵计划来完成。通过应用确定性和元启发式（随机）两项技术已经解决最小化泵运行操作成本的问题。确定性技术包括动态编程，线性，非线性和混合整数非线性规划算法。 元启发式技术包括粒子群优化（PSO）（Kennedy和Eberhart，1995），人工蜂殖民地（ABC）（Karaboga和Basturk，2007）和萤火虫（FF）（Yang，2009）算法。
启发式算法主导了泵运行优化的文献。特别地，这些算法通过将液压仿真模型（例如EPANet或KYPIPE）与优化模型集成来提供更好的机会来产生通用优化工具。Wegley等人 （2004）将PSO与液压模拟模型集成来优化泵运行。
在论文（Dandy等人，2010）中，为WDS使用二测试问题的优化设计。作者给出了三种元启发式的比较，即遗传算法，PSO和差分演化算法。然而，WDS操作元启发式的综合比较还没有完成。从算法反应的性能来看，这种比较对于确定不同算法的优点和缺点是至关重要的。为解决泵运行成本最小化问题，在本文中，从广泛使用的元启发式算法中，我们提出一种比较分析得到的方法。该方法包括以下比较标准：（a）获得的“最佳解”;（b）效率; 和（c）鲁棒性。 应用的算法是：PSO，ABC和FF算法。这些算法应用于定速泵隐含时间表文献中的测试问题。
算法
在本节中，我们简要描述我们的比较分析中使用的算法。 这些算法更详细的描述可以在提供参考文献中找到。
粒子群优化
由Kennedy和Eberhart（1995）首次提出的单目标优化PSO是基于鸟群在鸟群中的社会行为的模拟。PSO的流行是因为其相对简单和容易实现的优点。广泛的应用和低计算成本下良好的结果证明PSO是有效的。
在PSO算法中，首先随机选择初始群中的一组粒子
这些粒子根据其先前的搜索经历通过在搜索空间中不断地移动来找到解决方案。粒子将它们的位置从一个搜索点改变到另一个搜索点。关于个人的社会心理倾向，以模仿他们的邻居的成功。 因此，粒子及其邻居的自身经验指导它从一个搜索位置重新定位到另一个。 当一个群体的所有颗粒改变它们的位置，大量关于解决空间的的信息就产生了。 所有帮助他们要走向更好解决方案的群体分享这些信息。每个颗粒以朝向其自己的最佳溶液p best和朝向最佳粒子溶液g best的方向移动整个群体的方式来调整粒子的轨迹（Dehuri等人，2011）。
d维搜索空间中粒子i的位置和速度矢量可以表示为
xi =（xi1; xi2; xi3;：：：; xid）和vi =（vi1; vi2; vi3;：：：vid）。
通过应用用户定义适应度函数，在时间t中针对粒子i发现的最佳适应位置是
pi =（pi1; pi2; pi3;：：;; pid），
也称为pbest。 同时，适当的粒子gbest在整个群中的位置
是pg =（pg1; pg2; pg3;：：：; pgd）。 在时间（t 1），粒子的位置和速度可以是
通过以下等式计算：
vid（t 1）= vid（t） z1r1（pid（t）-xid（t）） z2r2（pgd （1）
xid（t 1）= xid（t） vid（t 1）：（2）
这里r1和r2是两个独立产生范围在[0; 1]的随机数，是用于控制先前速度历史对当前速度的影响的给定粒子惯性重量。 z1被称为代表吸引力的认知学习因素，粒子已经走向自己的成功。 z2被称为代表吸引力的社会学习因素，粒子朝向其邻居的成功。 PSO算法使用定向突变算子将粒子的速度设置为特定方向，这取决于粒子的和群的最佳适应值。如果角度的潜在方向之间个人最好并且全球最好是小，探索空间小。如果这个角度大，探索在大搜索空间上执行。有时候使用变异算子来随机化搜索方向。 PSO的伪代码如下（Dehuri等人，2011）：
参数设置和初始化群。
评估每个粒子的最佳pbest并且定位群最佳gbest。
Count = 0;做i = 0;
做更新每个粒子的速度和位置利用等式（1）和（2）使用用户定义的适应度函数评估适应度。
更新pbest。i ;
WHILE（i lt;总颗粒数）
更新swarm leader gbest。
计数 ;
WHILE（count lt;MaxCount）
人工蜂群
ABC算法的灵感来自于蜜蜂在寻找食物时的社会行为。 任何食物来源被认为是一种解决方案。在这个算法中，群体有三种不同种类的蜜蜂：旁观者和侦察蜂。被雇用的蜜蜂是朝着已经探查过的食物来源方向。旁观蜜蜂等待雇用蜜蜂提供的信息决定选择食物来源。侦察蜂执行随机搜索以发现新的食物来源。 侦察蜂基本上是一个被雇佣的食物来源已经耗尽
的蜜蜂，雇用蜂和旁观蜂的数量是相等的，他们的总数被称为群体大小。雇用或旁观蜂的数量等于解的数量（SN）。
在第一步，ABC产生SN的随机分布的初始群体P（C = 0）解决方案。 每个解zi，其中i = 1; 2; ：：：; SN是d维向量。 d是数字优化参数。 在初始化之后，对位置（解）的总体进行处理到重复的搜索过程（C = 1; 2;：：：MCN），直到实现终止标准（MCN）。所使用的蜂根据以下等式修改其存储器内的位置（vi; j）：
vi; j = zi; j i i; j（zi; j-zk; j）： （3）
这里，k 2 f1; 2; ：：：; SNg和j 2 f1; 2; ：：：; dg是随机选择的指数。 虽然k是随机确定的，但它必须不同于i。 i; j是[-1; 1]之间的随机数。 一旦新找到的位置，所采用的蜜蜂测试新来源（新的）的花蜜量（适合度值）溶液：
fiti = 1/（1 fi） （4）
根据老和新来源的适应度值，所使用的蜜蜂保持印象中最好的并丢弃其他。在完成搜索过程后，蜜蜂分享他们的食物来源的花蜜信息和与旁观者蜜蜂的位置信息。 旁观者蜜蜂评估从所有使用的蜜蜂采集的花蜜信息并且选择一种食物源，关于与该食物源相关联的概率值pi，其通过以下计算表达：
这里fiti是由（4）给出的解的适合度，其与成本函数成反比fi。 一旦选择食物源，旁观者蜜蜂通过检查采用所采用的蜜蜂的行为适应当前食物来源并且在其记忆内对位置vii进行修改，根据等式（3）。 随后，旁观者蜜蜂检查新源的适应度
使用等式（4）并且使用贪婪选择策略来选择和记忆两者中的更好
来源。 每当食物源及其周围环境的位置不能进一步改善时，通过预定数量的循环，该食物源被所使用的蜜蜂放弃。 预定周期数的值，称为“限制放弃”，是很重要的控制参数的ABC算法。 侦察兵（以前使用的蜜蜂）发现了一个新的食物源根据以下等式替换废弃的源zi：
ABC算法具有三个控制参数（Karaboga和Basturk，2007; Karaboga和Ozturk，
2011）：
bull;食物来源数量（SN）;
bull;放弃限制;
bull;最大循环次数（MCN）。
与其他强大的搜索方法类似，ABC算法同时使用了勘探和开发过程。在ABC中，旁观者和受雇的蜜蜂在搜索空间中进行开发过程，而侦察员控制勘探过程。被雇用和旁观者执行蜜蜂共同来影响ABC算法的本地搜索性能（邻域搜索和贪婪选择机制）。由考察人员进行的随机搜索过程和由受雇者和旁观者执行的邻居解决方案生产机制（由（3））影响ABC的全球搜索绩效。ABC算法的伪代码（Karaboga和Basturk，2007; Karaboga和Ozturk，2011）如下：
生成初始群体zi，其中i = 1; 2; ：：： SN
评估人口的成本函数和适应度将循环设置为1重复
每个受雇的蜜蜂{通过使用（3）生成新的解决方案vi计算值fi和fiti应用贪婪选择过程}
用（5）计算解（zi）的概率值pi，
为每个旁观者蜜蜂{根据pi选择一个解zi产生新的解决方案vi计算值fi和fiti应用贪婪选过程}，如果有一个废弃的侦察员解决方案然后用新的解决方案替换它，这将由（6）记住迄今为止最好的解决方案cycle = cycle 1，UNTIL循环= MCN889Firefly算法
萤火虫通过生物发光产生节奏闪光，主要有两个主要原因：（i）吸引交配伙伴
（ii）吸引潜在的猎物。在某些情况下，这个光线也提醒着萤火虫的苦味的捕食者，因此扮演威慑的角色。萤火虫产生的灯光只能在数百米内看到。主要原因是光的强度I随着距离r的减少而变化，可以由以下等式表示：I正比于。
此外，空气对光的吸收也降低了其可视性。 2007年，X.-Sh.杨申对萤火虫闪光相关的特征制定优化算法。使用以下三个规则（Yang，2010）：1. 无论性别如何，萤火虫都会互相吸引。
2. 在任何两个闪烁的萤火虫之间，吸引力与其亮度成比例。吸引力和亮度随着距离的增加而减小，反之亦然。不太明亮萤火虫总是朝着更亮的萤火虫移动，如果它们的亮度相同是随机移动的。
3.目标函数的景观决定了特定萤火虫的亮度。在该算法中，萤火虫的亮度可以与目标函数或适应度函数的值成正比，在位置x处，亮度或强度与x处的函数值成比例，那就是I（x）正比于f（x）。任何两个萤火虫在i和j位置的吸引力都有所不同，取决于它们之间的距离rij和介质的吸收性质。如果是强度在来源里，可以表达为： （8）
如果介质具有固定的光吸收系数gamma;，则I0是原始光强度， （9）
等式（8）和（9）可以以下列高斯形式组合： （10）
这可以更方便地近似表达为： （11）
当吸收参数gamma;足够小时。萤火虫的吸引力与它的邻居看到的光线强度成正比。它由以下等式定义： （12）
其中beta;0是r = 0时的吸引力。类似于等式（10），等式（12），足够小gamma;的值可以被替换如下： （13）
等式（13）创建了一个特征距离Gamma;= 1 /r^0.5，吸引力随之变化beta;0〜beta;0e-1。这个方程式也可以写成如下形式：，mge;1 （14）
对于具有固定gamma;的介质，特征长度变为Gamma;=→1 as m→无穷。如果xi而xj分别是两个萤火虫i和j的位置，它们的直角距离在d维空间是:
||||=（） （15）
这里，xjk是第j个萤火虫的空间坐标xj的第k个分量。萤火虫i移动朝向更有吸引力（更亮）的萤火虫j取决于： （16）
alpha;属于[0; 1]是随机化参数，“i是从高斯分布中选择的随机数的向量，影响收敛速度的gamma;值的价值非常重要，并且通过优化的系统的特征长度Gamma;来确定。
Firefly算法的伪代码如下（Yang，2009，2010）：
目标函数f（x）; x =（x1; x2;：：; xd）T生成初始人口xi，其中（i = 1; 2;：：; n）
萤火虫的光强度（Ii）由f（xi）定义介质的光吸收系数gamma;确定。WHILE（t lt;最大生成数）
FOR（i = 1;ile;n; i ）为n个萤火虫
FOR（j = 1;jle;n; j ）对于n个萤火虫
IF（Ijgt; Ii）
通过使用等式（16）将萤火虫i移向j。
或者，吸引力随距离r通过exp-gamma;r变化（式（12）），评估新的解决方案并重新计算光强度
END FOR j
END FOR i
根据客观/适应性功能值对萤火虫进行排序并选择当前最佳
t
结束。
方法学
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