国内外研究现状综述

（一） HPM概述

讲到HPM（数学史与数学教育），首先要来认识数学史。1742年,德国数学家海尔布罗纳(J.C.Heilbronner, 1706～1747)出版《世界数学史》、1758年法国数学家蒙蒂克拉(J.E.Montucla, 1725～1799)出版《数学史》。^[1]这些书籍的出版标志着数学史作为一个独立研究领域出现了。当数学家们深入研究数学史并将其与数学教育挂钩时,数学史对数学教育的意义也就慢慢地被一些数学家和教育工作者发现了。

国外著名数学家和数学史家克莱因(M.Kline, 1908～1992)认为数学史对数学教育的意义重大。他认为“每一位中学数学教师抑或是大学数学教师都应该了解相关的数学史，选择认识数学史的理由有很多，但其中最重要的一条是:数学史是数学教学的指南。”^[2]在克莱因眼里,数学史非常的重要!克莱因也坚信,在课堂上,学生可能会产生历史上数学家曾经遇到过的相似或相同的问题, 所以历史对数学课堂教学具有重要的借鉴作用。克莱因指出:“数学绝对不是课程中那种简单的识记观察和寻常诠释，它并不是一种简单的推演和结论。”^[3]

早在1876年丹麦著名数学史家邹腾(H.G.Zeuthen, 1839～1920)就在自己的一篇数学史论文中强调了数学专业学生学习数学史的必要性,认为学生不仅可以从中获得一种历史感悟,而且还可以站在新的视角来看待数学这门学科,接触学习了数学史后他们会对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力。^[4]

同样在美国,早在19世纪90年代就有人提倡把数学史作为教学工具融入到数学教学之中。^[5]美国历史上第一个数学史教授卡约黎(F.Cajori, 1859～1930) 在1893年出版的《数学史》前言中强调数学史对数学教师的重要价值:“如果用历史回顾、历史人物和历史轶事简单加以修饰枯燥的问题求解和几何证明,学生对该部分内容的学习兴趣就会有明显的增加，比如说在算术课上听古印度人和古巴比伦人的工作以及有关“阿拉伯数码”的发明、在学习勾股定理时告诉他们有关的传说等等。”^[6]由此可知数学家们很早就发现或者说是察觉到了，数学史在数学教育中发挥的作用，并且有些已经开始将其作为一种工具融入教学。

国外其他的学者也报着支持的态度，庞加莱在《科学与方法》中说到,数学课程应该完全按照数学史上发展的进程展现给学习者们。^[7]虽然说这种说法有些绝对，但是他想要表述的是对数学史融入数学教学这种方式的极度支持，笔者认为有理可依即可尝试。另外荷兰数学家、数学史家、数学教育家弗赖登塔尔(H.Freudenthal, 1905～1990)他对数学归纳法及其历史有着深入的研究。结合他的研究和对该部分数学史的认识，他对那种没有历史灵魂、过于注重逻辑严密性的教材抱着批判的态度，他认为教学应该以一种活泼的方式呈现，而数学史正是教师的必备品。^[8]著名数学史家迪克斯特休(E.Jan Dijksterhuis)说到了数学史在数学专业师范生培养中发挥的重要作用,数学史对于他们来说是一种潜在的财富,这种财富是宝贵的,也是不可或缺的。^[9]上述的观点说明了数学史能给教学带来许多未知的惊喜，也是好的课堂不可缺少的灵魂。

史密斯还特地为数学教师写了《数学史》、《数学原始文献》这两本书。史密斯告诉我们,数学史已经被公认为师范生和大中学校学习者学习材料的重要组成部分，长期的执教经验告诉他，在教学中穿插一定程度的历史介绍是十分有必要的。^[10]史密斯这里讲到了数学史对师范生和学习者都非常有必要，一个是教育者层面的必要性、一个是学习者层面的必要性，但他这里还没有涉及到低段学习者，所以总的来说思考还是片面的。之前说到的都是强调了数学史对数学教学的重要性，英国的数学家德摩根(A.De Morgan, 1806～1871)不仅仅强调了重要性,而且还强调了数学教学中应遵循的历史次序。^[11]这一观点，笔者认为非常有意义。因为我们不能一味简单的照搬，在借鉴融入之前应该系统的了解过，要采取正确的使用方法、合理的融入，并且要明确发展的时间线。

对数学史的研究从来没有停止过并且在不断的深入，1972年,在第二届国际数学教育大会上,成立了数学史与数学教学关系国际研究小组(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics,简称HPM),标志着数学史与数学教育的关系作为一个学术研究领域 (我们也称之为HPM)出现。^[12]在这前后越来越多教育研究者和数学家参与了进来，国际上还对在数学教育中融入数学史的必要性和运用方法做了大量的探讨，关于为何要使用这一问题,学术界已经有了许多合理的解释,英国学者John Fauvel曾总结出15条“为何运用”的理由。^[13]我国吴骏、汪晓勤在对“为何”“如何”这一问题上和英国学者保持一致看法，认为对前者的研究国内已处于较成熟的阶段，后者尚无定论。指出数学史融入数学教学是一个长期回应的过程,很难在短期产生明显的效果。我们不能奢望学生在一夜之间获得较高的考试分数,但它确实可以让学生体验到学习数学是一个有意义的、充满活力的过程,从而使学习变得更容易和更深入。^[14]Tzanakis和Arcavi两位学者还对数学史的教学作用进行了总结，阐述了数学史的教学支持作用、内容丰富作用和教学改革作用，细化后从数学情感、数学学习、教师知识储备、文化鉴赏、数学本质五个方面进行了总结。^[15]以上罗列的是国外对于数学史的部分认识，国内的数学家、教育工作者们对数学史的认识也非常的深刻。

我国著名数学家徐利治先生说过，数学家的创造性思维活动的过程可以成为培养学生数学思维能力的好教材，学生们不仅可以从中学习到数学家的思想方法，而且可以学习到数学家的刻苦钻研精神、顽强毅力和严谨学风，这对于调动学生的非智力因素有着很大的好处。所以他觉得考察数学知识的演变，总结前人的经验教训对今天的教育来说意义重大，每一个独特的经历都可以是数学课堂活的素材。^[16]

张奠宙指出努力揭示数学史知识的文化内涵,将会使得数学史进一步融入数学教育,增强数学文化的教育作用。青年学子将会建构数学常识,感知数学文化, 享受智慧人生。^[17]朱哲、宋乃庆指出HPM可以帮助教师预见学生的认知发展,指导并丰富自己的课堂教学,构筑起数学与人文的桥梁等。^[18]