中值与中值定理外文翻译资料

中值与中值定理

作者：Jorma K. Merikoski, Markku Halmetoja ，Timo Tossavainen

国籍：Finland

出处：Merikoski, Jorma K., Halmetoja, Markku and Tossavainen, Timo Means and the mean value theorem,International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,2009,40(6):729-740

中文译文：

设在一个实区间。我们称连续函数为适当映射，如果它是对称的、自反的、齐次的、单调的、内部的。设是可微且严格凸或严格凹函数。如果且，则和之间存在唯一的数，使得.我们研究了在什么条件下，是和之间的一个适当中值，以及应用到某些会得到什么样的中值。我们还研究了相反的问题：给定一个适当的中值，是否存在使得对所有且?

关键词：中值，中值定理，数学教学，数学

1. 简介

当今高等教育数学教师面临的最大挑战之一是找到合适的方法向学生介绍现代数学研究以及从事数学研究的观点。这自然是因为大多数现代研究处理的问题太复杂而无法用初等数学来讨论。

尽管如此，正如最近的一些文章，例如[1-3]表明仅仅依靠本科数学也有可能产生数学上有趣的结果。这些文章的共同点是倾向于用一个实变量的函数可能具有或不具有的几何或其他说明性质来刻画某些函数或现象。换句话说，这些文章旨在为现代数学研究的基本要素之一提供捷径：我们寻找一组函数、空间和其他数学结构或极值条件的分类和替代定义，在这些条件下某些数学命题是成立的。我们通过关注中值的概念和中值定理来延续这种做法。

设是定义在区间上的可微函数，设。(我们只考虑一个实变量的实函数。)中值定理指出，在和之间至少存在一个数，像这样

(1)

通常不能显式地找到，但为了教育目的，给出一些可以这样做的例子是有益的。最常见的例子当然是。那么，这意味有唯一的值，

(2)

于是函数由(1)生成算术平均(2)，更一般地，每一个二次多项式都做相同的运算。现在提出反问题是很自然的。

问题1：假设一个可微函数由(1)生成算术平均(2)，则是二次多项式。

在第2节中，我们将给出问题1的正确回答。这个答案使我们考虑某些其他函数，并研究它们什么样通过(1)可能得到什么样的中值。由于(1)中的必须是唯一的，所以我们假设除了可微外，还严格凸或严格凹。则由引理3严格单调，因此存在。所以，唯一的，

(3)

由于中值定理(1)常被归结为拉格朗日中值定理，我们称 (下文[ 4 ] )为由生成的和的拉格朗日中值。我们记，并定义。

由于实际上由引理4是连续可微的，所以另一种选择是写

(4)

其中严格单调。实际上，这让人联想到积分的中值定理：

其中是唯一的，如果是严格单调的。

要研究是否获得中值，就必须定义中值指的是什么.

而中值的公理化被广泛研究，参见文献[5]。我们仅限于两个实数的中值。假设是实区间。我们称连续函数：为上的适当中值，如果

(i) (对称性),

(ii) (自反性),

(iii)(同质性),

(iv)(单调性),

(v)(内部性),

对所有的

现在我们提出以下问题。

问题2：给定一个严格凸或严格凹函数具有什么性质? (替代式：给定一个连续且严格单调的函数，(4)式中的一个适当中值的性质是什么?)对某些特定的,我们能获得什么样的中值?

我们将在第4节中看到，除了同质性可能具有同质性外，还有所有这些性质。相反的问题是

问题3：给定一个适当的中值，是否存在函数使得?(替代公式：是否存在函数g使得在(4)中成立?)

在第5节中，我们将通过证明是齐次的(因而是适当的)当且仅当它是广义对数中值来否定回答这个问题。在第6节中，我们将通过研究在什么条件下推广问题1。在第7节中将研究的性质，在第8节中，我们将通过基于广义中值定理的概述出更一般的方法，以此完成本文的第9节的总结。根据我们的知识，定理1的初等证明是新的。所有其他结果都可以从文献中发现的结果推论出来。然而，我们对定理6的证明与我们以前所知道的不同。

2、产生算术平值的函数

以下定理表明问题1的答案是肯定的。该定理是更高级定理5的特例，但在我们看来，基本定理需要基本证明。

问题1:设是在上定义的可微函数。以下条件是等价的：

1. 等价于，对于，且成立
2. 是一个二次多项式

证明：

从(b)证明(a)，显然

从(a)证明到(b)方法如下

令，，且，通过(a)可以得到以下式子

（5）

因此进行求导，可以得到以下式子

即，由于上，可以得到如下式子

(6)

假设，用()和()表示所在的直线，对于，也在进一步。在（6）式中，分别令以及，那么，若这条直线是的中点，是的中点，那么点(,)和(,))落在直线上，那么类似的，我们将得到子集在使得对于有都落在这个直线上。通过引理4可知是连续的，从而对于所有的。由于和都是任意值，所以对所有的 isin;直线.

因此的图形是一条直线，所以存在.如果，那么，的值和无关系.但是对每一个，都满足，这与(a)相违背.因此，所以必然是二次多项式.证毕.

3、引理

接下来我们给出后面需要的所有辅助结果.在显示 的一般极值时，(4) 似乎比 (3) 更好。 因此，我们首先介绍函数的两个简单引理

这里 是定义在区间 上的连续且严格单调的函数，并且，

引理1:令且，假设且是单调递增，可以得到以下结果

若是单调递减函数，则上述不等式反向。

证明：从，只需证明是单调递增的话，那么下列函数单调递增

是单调递增的（如果是单调递减的话，请考虑）。也是严格单调递增的，这等价于

也是单调递增的，对上述表达式进行微分，我们可以得到以下表达式

其中时，因为,所以有，因此结论成立。

引理2:如果，可以得到以下式子

证明：假设是单调递增，且，可以得到

所以可以得到

因为也是严格单调递增的，所以可以推导出如下表达式

引理3:设是在区间上定义的可微函数。严格单调递增（递减）当且仅当是严格凸（凹）函数。假设是二次可微的，当且仅当是严格凸（凹）函数，当且仅当且在区间内不完全为0。

为了给出连续可微的充分条件，我们需要一个描述不连续性的概念。定义一个，让定义在上的函数是不连续的。在。我们说是一个简单的不连续性，如果在处有单边极限。（如果是关闭，是它的端点，我们排除了没有定义的一边。）

引理4:设是定义在区间上的可微的严格凸函数或严格凹函数。那么是连续的。

证明：由于是可微的，所以没有单间断点[，定理推论]。另一方面，由于单调，因此不存在非单间断[8，定理4.29推论]。因此，根本没有间断点。

引理5：设即

(b)

证明：根据布伦[5,p.385]，这些结果“显而易见”。然而，在我们看来，和很有趣，可以在这里证明。

根据拉格朗日中值定理

并且

（b）根据

表示

并且根据拉格朗日中值定理我们可以获得

并且（b）也是一样。

备注：人们可能用以下来代替的证明：

然而，为了证明这一结论，必须确保。当。然后式子的顺序和积分可以颠倒（见，例如，[8，定理7.16]。显然，该方法不适用于证明（b）。

4.拉格朗日公式是否可适用到所有情况

令为定义在区间上可微的严格凹或凸函数的拉格朗日中值。由(3)

或由(4)

对，，和。这里给出。我们通过证明不一定齐次但有其他的特性可以回答问题的第一部分。

定理2:设是定义在区间上的可微严格凹的凹或凸函数。那么拉格朗日中值是连续的、对称的、自反的、单调的和内部的。

证明:由于由引理4可知是连续的，而且也是连续的。接着可以验证在的连续性。如果且和的连续，还需要证明在是连续。如果满足，那么通过中值定理可以给出

且

如果且，那么，所以可推出，又因为当时，由此可知

并证明了其连续性。

的对称性和自反性是显然的，的单调性来自引理1和引理2的内部性。

为了证明不一定是齐次的，令和。由于且在取到，所以f是严格是凸函数。另外我们可以得到，因此

其中。比如

和

但是

我们将在下一节描述所有的齐次拉格朗日中值定理(定理4)。

5.广义对数中值

让我们现在进一步探究问题2的第二个部分。

首先，令，讨论一下函数。如果或，则既不是严格的凸函数也不是严格的凹函数，所以我们假定。因此，通过引理3意味着如果或，则是严格的凹函数。如果则为凸函数。

由(1)

和

特别是，对于，

因此，几何中值是由的拉格朗日中值推导出来的。若为正整数，则表达式(7)也可表示为

接下来我们研究由所生成的。这个函数是严格的凸函数。因为对于所有，通过(1)得到

和

是和的对数中值。

最后令，因为它是一个严格的凹函数。通过(1)，我们可以得到

这给了相同的中值

通过直接应用定理2，可以看出拉格朗日中值(7)-(10)是连续的、对称的、自反的(根据定义，)，单调的和内部的。由于它们也是同质的，所以它们都是正确的。

令且。通过[5,p. 385]和[9, p. 41]，我们可以定义和的广义对数中值，参考引理5:当，

我们还要定义。(实际上，“广义对数中值”术语有些含糊，例如，我们找不到对的算术中值的任何“对数”)

实际上，我们已经提供了必要的细节来验证以下内容

定理3:广义对数中值在上是成立的。

但是对于调和中值

更一般的说，广义平均

上式也可以成立吗？之前我们只计算了和两种情况（在后一种情况下，被定义为对应的极限）。我们还考虑了的情况，但是它们显然并不是拉格朗日中值。答案在下面的定理中给出。

定理4： 拉格朗日中值是齐次的当且仅当对于某些(有限的)，有。

即，很容易得到由(11)定义的广义平均在时并不是广义对数中值。但是是齐次的，因此根据定理4，它不是拉格朗日中值。换句话说，不存在使得。因此，问题3的答案不存在。

6、生成给定拉格朗日中值的函数

设是定义在上的可微且严格凸或严格凹的函数一个区间，让，。很容易看出，函数可以生成与相同的拉格朗日中值。

我们在定理1中看到，在的情况下，反函数也成立：如果，则是二次多项式。现在我们问：反命题也是真的吗？

解决这个

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