二阶常微分方程的两导数RKN方法开题报告

 2022-01-14 11:01

全文总字数:3828字

1. 研究目的与意义、国内外研究现状(文献综述)

二阶常微分方程应用于许多科学领域,如天文力学中的开普勒问题和多体问题、经典的牛顿第二定律、量子力学中的de Broglie-Bohm运动理论、物理中的LRC电路、非线性源产生的非线性扩散理论、分子动力学中的Lennard-Jones势、气体的热点火以及化学或生物中的浓度问题。求解二阶常微分方程的经典方法是经典Runge-Kutta-Nystrm(RKN)方法。本课题旨在总结RKN方法和两导数RK方法格式和阶条件,在R.P.K. Chan, A.Y. J. Tsai等工作的基础上,为了提高RKN方法性能,构造出两导数RKN方法的格式。

本项目研究对象是二阶常微分方程初值问题

(1)

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2. 研究的基本内容和问题

研究目标:

(1)对二阶常微分方程,得到TDRKN方法的格式。

(2)给出TDRKN方法的阶条件。

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3. 研究的方法与方案

研究方法:

问题转化,算法设计,理论分析,数值实验,实验结果分析

技术路线:

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4. 研究创新点

(1)利用求导提高数值方法的精度。

(2)推导新方法阶条件。

(3)面向自然科学中的前沿性的、亟待研究的问题,如基因调控网络的Michael-Menten问题;重视方法的理论基础,更重视数值试验,以实验效果作为判断算法优劣的最终标准。

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5. 研究计划与进展

2019.3 系统学习微分方程数值解法、有根树与阶条件的基本理论,经典的数值RKN方法,并学会熟练掌握微分方程数值解的理论分析方法(收敛性、阶条件与稳定性),获得较多的数值实验经验。收集有关两导数数值方法的最新文献,将前人的相关研究重复出来并整理成文献综述。

在系统研究前人工作的基础上,提出TDRKN方法的新格式。

2019.4 完成新算法的理论分析,同时进行大量的数值实验,并与前人的结果进行比较,取得一手新的实验数据;必要时对新算法进行调整与优化。数值求解实际问题,完成研究报告初稿。

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