高光谱图像的低秩张量逼近研究文献综述

1. 高光谱图像及张量低秩分解发展

在信息数字化的当今，我们接触的数据越来越多维化，如高光谱图像的处理研究中。高光谱图像（HSI）是由几十乃至数百个连续波段图像组成的3维数据立方体. 高光谱数据两个相邻波段之间一般相隔仅有10 n m ,相邻波段的图像空间、谱间相关性都非常高。但由于不同波段的重要性可能不同,我们可以通过使用特定的算法进行降维,从而形成新的高光谱图像空间,在不损失重要信息的条件下可以代表其他波段的信息，这样就有效的降低了数据冗余。

换言之，我们将张量分解应用于高光谱图像数据的处理这就需要我们研究张量的内部结构特征。张量的经典分解有 Tucker分解和CP 分解。上世纪60年tucker提出了tucker分解形式，70年代chan和hashman提出了Canonical Decomposition parallel Factors cp分解形式，此后张量分解引起广泛重视和研究。进入21世纪张量分解发展越来越完善，Genevera I.Allen [1]提出了一种稀疏的CP分解算法，基于张量乘积的稀疏CP分解算法，创新性的使用软阈值操作以达到分解成分稀疏的效果。Eric C. Chi 和Tamara G. Kolda [2]提出了基于泊松分布的张量分解模型，利用非线性Gauss-Seidel来构造优化函数加入一些约束条件得出KKT 条件求得最优解。经过迭代到收敛得出新的稀疏非负的分解。Will Wei Sun [6]在稀疏CP分解的基础上提出了截断的张量CP分解，也取得了不错的效果。Misha E. Kilmer [3]等人提出了对张量做矩阵操作的张量T-SVD分解方法。这些算法在不同情况下已被证实能够取得不错的效果。

2.经典张量分解概述

张量是具有大小和方向的量，我们可以将它理解为向量和矩阵的高阶推广，张量的阶数表示为它所需要的指标个数。若张量Аisin;的阶数为N，用坐标（）表示元素，三阶张量Xisin;。

张量分解是矩阵分解在高阶数据上的推广,是数据分析的有用工具,在图像处理等领域应用广泛。在高光谱图像研究中[13]，其数据具有典型的张量结构,而低秩表示可以很好地挖掘如视频序列,高光谱图像等高维张量数据的内在的相关性，但不同于矩阵秩的清晰定义，张量的秩具有不同的定义方式。

2.1 CP分解[9]

CP分解是将张量分解为部分一阶张量的和。例如，给定一个三阶张量Xisin;，我们希望把写成其中R是一个正整数， ,for=1,2hellip;,R 其中每个元素表示为：

for i=1,hellip;.I,j=1,hellip;J,k=1,hellip;,K