初等几何作图问题探讨开题报告

1. 研究目的与意义

1.研究的背景

古希腊人要求几何作图只许使用直尺和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之谜。第一个是三等分角问题，即将任意一个角进行三等分。1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题。但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的。阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题。三角等分问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明。第二个是倍立方问题，即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年前希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛，一个预言者宣称已得到神的喻示，需将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍然保持立方体的形状。这两个传说都表明倍立方的问题起源于建筑的需要。1837年，法国数学家旺策尔证明了倍立方的问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题。倍立方的问题研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展。第三个是化圆为方问题，即求作一正方体，使其面积等于一已知圆的面积。这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它。希腊语中甚至有一个专门名词表示献身于化圆为方问题。1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案。如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达芬奇设计的：用一个底与已知圆相等，高为已知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方的问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响。

现代研究科学发现初等几何中作图工具的多样化使得图形的证明更加浅显易懂，现代高技术有许多采用了传统和现代的几何理论，在人类在进入电子信息时代的今天，几何学对人类社会发展的贡献越来越大，出席美国1998年科学年会的科学家认为：21世纪教育的一个重要原则是：学校传授给下一代的将不只是知识，更重要的是技能，几何学具有较强的直观效果，有助于提高学生认识事物的能力，应当成为自然科学教育大纲中的首选和重点内容。初等几何是几何类课程的基石，而初等几何的作图更是几何的关键，只有明白如何作图，才能把图形中的知识串联起来，形成自己的知识体系，使得几何的推理和证明一气呵成，可以说几何作图生于几何，而又贯穿始终。

2. 研究内容和预期目标

本文主要研究的是初等几何作图问题的基本方法和应用。假设给了一些条件,设法求作具备这些条件的图形,这便是作图问题。而初等几何作图问题就是不用其它辅助条件仅用直尺和圆规经有限次数的作图。完成作图以后,便可断言具备某些条件的图形存在,或在什么情况下这样的图形存在，在某种意义上说，就是存在问题的证明。初等平面几何的研究对象不外乎直线、圆以及由它们或它们的部分所构成的图形，所以我们作图工具习惯上是先用直尺和圆规的。仅用直尺和圆规经有限次手续的作图称为尺规作图或规矩作图或初等几何作图。不能经有限次数使用直尺和圆规完成的作图被称为规矩作图不能问题或不可作问题。所谓不可作问题并非是问题无解，而只是说限用直尺和圆规是不可能的，例如：任意角的三分之一必然存在，但是我们却不能用直尺和圆规做出来。尺规作图的原理有：图形相似、对应角相等、对应边之比相等；图形全等、对应角相等、对应边相等。初中阶段的几种基本作图分别是作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；平分已知角（即作已知角的平分线）；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；过一点作已知直线的平行线；求作三角形，已知三边或二边及其夹角或二角及其夹边；平分一弧。初等几何作图问题在中学教学过程中有着尤为重要的地位，它能加强学生分析和全面观察问题的能力，并加深对几何各部分的理解，所以学习好初等几何作图可以帮助学生更加有效的学习几何问题。它在实际生活也有着重要的作用。而且初等几何作图问题是建立学生具体几何观念的重要手段,是克服学生单纯死记硬背定理条文的好办法。它可以提供教材,把所学的命题用来解决某些具体问题,使学生学会学以致用。初等几何作图为制图学提供理论基础,在实践上的意义是不可忽视的。从古代的尺规作图导线子啊的电脑绘图；从建筑图纸到一座座高楼大厦，几何图形无处不在。然而在教学过程中，很多教师认为几何作图不重要，或者这块知识不作为学业考试重点检测的内容，因此在教学中只留于形式，这是缺乏责任的表现。我认为应该加强几何作图的教学，几何作图对于学生提高学习兴趣，掌握几何知识，形成逻辑思维能力，培养学生创新能力等方面都有着很重要的作用。良好的作图能力、作正确的图形可以开拓一个人的解题思路，为解决问题的思考过程提供很大的帮助。经常作图，可以帮助学生更好地理解图形的基本性质、位置关系，建立几何直觉。

3. 研究的方法与步骤

由于初等几何的研究已经及其深入化了，所以在这篇论文中我主要采用文献研究法和描述性研究法两种方法来阐明我的理论观点，初等几何研究以及其中的作图技巧和问题依据《初等几何研究》、《高等几何》、《作图分析与讨论》等文献进行整理研究，我准备先阐明初等几何在现实社会的主要作用及其意义，分析讨论后引出几项初等几何作图的方式方法和其中的主要依据，并且用于几何中的价值，接下来依据文献资料介绍了基本作图的五种类型以及证明，还有解决作图问题的几种方法，并且举出具体例子来应用了几何问题作图法，如轨迹交截法，三角形奠基法，合同变换法。

4. 参考文献

[1]朱德祥,朱维宗[m].初等几何研究.北京：高等教育出版社,2005.

[2]梅向明.高等几何(第二版)[m].北京：高等教育出版社,2004.

[3]黄世同.关于几个几何作图题的推广[j].云南：云南师范大学学报(自然科学版),2004年5月.

5. 计划与进度安排

1、2022年3月2日-3月6日，与指导老师交流，了解毕业论文的书写要求。

2、2022年3月2日-3月13日，接受毕业论文任务书，向指导教师咨询所选论题的状况和要求。

3、2022年3月9日-3月20日，完成开题报告，等待指导教师修改和审定论文开题报告。