图像反问题中的快速邻近梯度优化算法研究开题报告

1、选题的目的及其意义：

图像处理中反问题（inverse Problem）或称为不适定问题（ill posed problem）的研究从20世纪末成为国际上的热点问题，成为现代数学家、计算机视觉和图像处理学者广为关注的研究领域。数学和物理上的反问题的研究由来已久，法国数学家阿达马早在19世纪就提出了不适定问题的概念:称一个数学物理定解问题的解存在、唯一并且稳定的则称该问题是适定的（Well Posed）.如果不满足适定性概念中的上述判据中的一条或几条，称该问题是不适定的。典型的图像反问题包括：图像去噪（Image De-nosing），图像恢复（Image Restorsion），图像放大（Image Zooming），图像修补（Image Inpainting），图像去马赛克（image Demosaicing），图像超分辨(Image super-resolution )等。

现在由于数字化技术的飞速发展，我们越来越多地接触到的图像是数字图像。目前人们研究的数字图像，主要应用的是计算机图像技术。所为数字图像是现有图像数字化器，如数码摄像机或扫描仪等对模拟图像按照一定的规则进行扫描、采样、量化，然后按照一定的编码规则进行编码后再存储在存储器中。在图像的形成、传输、存贮、记录和显示过程中不可避免地存在程度不同的变质和失真。由于数字图像形成过程的每一环节都可能造成图像质量退化，因此，要想得到高质量的数字图像，在很多情况下，都需要对图像进行复原，以达到适应人视觉系统的生理、心里性质从而以便观赏、识别或其他应用的需要。

因此现如今图像复原是数字图像处理中的一个重要课题。它的主要目的是改善给定的图像质量并尽可能恢复原图像。图像在形成、传输和记录过程中，受多种因素的影响，图像的质量都会有不同程度的下降，典型的表现有图像模糊、失真、有噪声等，这一质量下降的过程称为图像的退化。为了更好的观察事物，采集到的图像需要根据相应的退化模型的相关知识重建或恢复的过程通常称之为图像复原。图像复原的目的就是尽可能恢复被退化图像的本来面目。

聚焦不准造成的聚焦模糊，太阳辐射、大气湍流造成的遥感照片的高斯模糊，以及在图像系统中始终存在的噪声干扰等因素都有可能造成图像退化。除此之外，在拍摄期间，如果相机与景物之间存在足够大的相对运动同样会造成所拍摄图像的模糊，这种模糊一般称之为运动模糊。随着人们生活的日益丰富，相机的应用越来越普遍，运动模糊也随之成为成像过程中容易发生的问题。例如在高速行驶的列车、汽车中拍摄窗外景物，在飞机或宇宙飞行器上进行拍照，用相机摄高速运动物体，在突发事件场合（通常用于刑侦），以及战场上飞行中的导弹等均有可能产生这种现象。因此，运动图像的复原成为图像复原中的重要课题之一，广泛应用于工业控制、道路监控、军事、天文观测、医学图像以及刑侦领域，具有重要的现实意义。

图像反问题求解最终归结为一个大规模的非光滑优化算法（凸优化或非凸优化）问题。结构化、大规模的凸优化问题在信号处理、图像压缩、压缩感知、多任务学习等领域中都有广泛的应用。由于问题的大规模性，似乎可以更好的利用一阶梯度方法去解决带有稀疏性、可分离性和简单非光滑的凸优化问题。这类问题的应用背景包括信号消噪、压缩感知、线性回归等等。例如，当试图去解线性系统这样的模型，而不是考虑线性方程或最小二乘问题。

一些凸优化问题,其目标函数是光滑函数与非光滑函数的和.一方面,由于其非光滑性,传统的策略不能求解这类凸优化问题.而邻近梯度方法可以很好的解决由非光滑性带来的困难.另一方面,也对目标函数的光滑部分和非光滑部分分别加以考虑,并得到了很好的效果.探讨的这类凸优化问题可以很好地运用于诸如变量选取,稀疏的块Lasso等实际问题中.

2、国内外研究现状（文献综述）

凸规划问题的研究可以追溯到二十世纪七十年代，目前用梯度方法来解决各类凸优化问题的研究已经有了不少结果，而用邻近梯度方法来解无约束凸优化问题的研究为数不多。例如，二十世纪八十年代Fukushima和Mine[11]提出一种用Armijo准则来确定步长的方法，即邻近梯度下降法。

1990年，Fukushima又把邻近梯度方法进行了延伸，提出了一种相关的Frank-Wolfe类方法。而这些研究都没有呈现出相应的数值结果，在实际中没有得到广泛的应用。再把无约束凸优化问题转化成有界约束凸优化问题的特例中，梯度-投影方法和坐标下降方法都是很有效的方法。

1992年，Luo[7]证明了当稀疏的块Lasso正则化问题中非光滑部分为指示函数时。求解问题的邻近分裂方法是线性收敛的。而分析的关键在于通过某个残差的范数去估计从一个可行对偶解到最优对偶解集的距离。

2005年，Combettes[6]证明了信号处理中各种逆问题都可以转化为解稀疏的块Lasso正则化问题，关于单调算子分裂方法的研究结果可以应用到用前向-后向算法解一般问题的收敛性分析中，文中延伸并提供了各种迭代方法的简单分析。

2009年，Tseng[10]提出采用坐标梯度下降方法来求解一类非光滑可分离凸优化问题，并证明了坐标梯度下降方法的全局收敛性和局部Lipschitzian误差假设下的线性收敛性，并用数值实验分析了其收敛速率。2009年，Tseng[8]又介绍了一类解凸优化问题的一阶梯度方法，包括邻近梯度方法和块坐标梯度方法等，并证明了误差界条件和梯度方法的线性收敛性。

2010年，He[9]提出采用加速的不精确的邻近点算法求解无约束凸极小化问题，证明了算法的收敛性，分析了算法的收敛速率，证明了其收敛速率是 ，并证明由Nesterov提出的加速的不精确的邻近点算法是可行的，同时证明了此加速的不精确的邻近点算法的收敛速率是 .同年，Combettes[5]证明凸函数的邻近算子是投影算子到凸集的自然延伸。在这凸优化问题的数值解的分析中起着至关重要的作用。论文中描述了求解一类稀疏的块Lasso正则化问题的有效的凸优化方法，即邻近分裂方法和算法的线性收敛性。